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similitude indirecte et complexe

Posté par
rawdha
19-02-11 à 23:36

bonsoir
pouvez vous m'aidez à un question svp?
voilà l'enoncée

dans le plan complexe on considere l'application h telque h(z)=z'=izbarr+1
1) demontrer que h est une symetrie glissante.et determiner son vecteur .

pour ce question je le démontre et j'ai trouvé que affixe du vecteur est (i+1)/2

2) donner alors une equation de l'axe (D) de h

à ce niveau je me suis bloqué aidez moi svp
et merci d'avance

Posté par
dhalte
re : similitude indirecte et complexe 20-02-11 à 01:19

Une symétrie glissante est un antidéplacement, caractérisé par un axe de symétrie orthogonale et un vecteur de translation.

z'=i \bar z+1
avec z=x+iy, les équations cartésiennes de cette transformation sont
x'=y+1
y'=x

Je ne sais pas si ma méthode est celle que tu as vue en cours, mais tu me diras ce que tu en penses...

Pour déterminer les éléments caractéristiques, je recherche une droite globalement invariante : cette droite a une équation générale ax+by=1
et si z est sur cette droite, alors z' doit l'être aussi

x'=y+1
y'=x
ax+by=1
ax'+by'=1

En éliminant x' et y', cela donne
bx+ay=1-a
ax+by=1

et par la méthode de Gauss
(a-b)(a+b)x=a-b+ab
(a-b)(a+b)y=a-b-a²

On doit avoir une infinité de solutions, donc on doit avoir a-b+ab=a-b-a²
c'est à dire a(b+a)=0
si on choisit a=0, alors b0, et les équations deviennent
x=1/b
y=1/b
nous n'obtenons pas une droite globalement invariante. Donc a=0 est à rejeter.

si on choisit a+b=0, alors a0 et b0 et les équations deviennent :
x-y=1/a
x-y=(a-1)/a
pour obtenir une droite globalement invariante, nous devons alors prendre
1/a=(a-1)/a
c'est à dire a=2

la droite globalement invariante a pour équation 2x-2y=1
le vecteur est donné alors par un point quelconque de la droite et son image.
soit z sur cette droite : ses coordonnées vérifient 2x-2y=1
et son image z' vérifie
x'=y+1
y'=x
2x'-2y'=1
le vecteur de translation a pour coordonnées (x'-x;y'-y), et on trouve (1/2;1/2)

similitude indirecte et complexe

La transformation est la symétrie orthogonale par rapport à la droite d'équation 2x-2y=1 suivie de la translation de vecteur de coordonnées (1/2;1/2)

Donc tu avais trouvé le vecteur.
J'ai d'abord déterminé la droite.

Posté par
edualc
re : similitude indirecte et complexe 20-02-11 à 07:33

bonjour

soit t la translation de vecteur (1+i)/2 et t' sa réciproque

f o t' est la réflexion d'axe (D)

On détermine l'écriture complexe de g = f o t '.

z ' = i z barre  + 1/2 - i/2

Il suffit de trouver un point de (D) . On pourra cherche le point où (D) coupe l'axe des abscisses . C'est un point invariant .
z' = z ( en n'oubliant pas que z = z barre)

on peut aussi chercher les points invariants de g
z' = z avec z = x + i y .....

Posté par
rawdha
re : similitude indirecte et complexe 22-02-11 à 10:56

@ dhalte merci bien pour votre attention
votre methode est étrangère pour moi puisque dans notre cours on n'a jamais vu cette méthode de recherche d'axe et de vecteur directeur
pour moi j'ai cherché hrondh = t2 est le vecteur de symetrie glissante
merci bien pour votre effort et votre aide

@ educale merci pour vous aussi votre methode me plais largement
j'ai trouvé D: x-y-1/2=0

j'espere que mon travail est juste

mercii



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