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similitudes

Posté par
Kollew 30-04-12 à 16:49

Bonjour,
Soit f(z)=\frac{-1+i}{2}z+2+i
1) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation du plan complexe associée à f.
2)On considère la suite de nombres complexes (zn) définie par z0=0 et zn+1=f(zn)
a) Calculer les huits premiers termes de la suite (zn)
b) Quelles sont les conséquences des résultats de la question 1) pour tout i sur les vecteurs Mi}" alt="\vec{Mi}" class="tex" /> et Mi+1}" alt="\vec{Mi+1}" class="tex" />? Faire figurer ce résultat sur la figure.
c) Soit (un) la suite réelle telle que pour tout n, un=Mn.
Démontrer que un est géométrique puis déterminer sa limite.

Réponse:
1) J'ai trouvé une homotéthie de rapport 2}" alt="k=\frac{1}{2}" class="tex" /> et de centre =1+i  (il y a peut etre une rotation mais je ne trouve pas l'angle)

2)a) u1=2+i ; u2=1/2 + 3i/2 ; u3=1+ i/2 ; u4=5/4 + 5i/4 ; u5=3/4 +i ; u6=1/8 + 7i/8 ; u7=3/2+ 5i/8 ; u8=15/16+ 23i/16

b)J'ai tracé la figure avec les points mais je ne vois pas les conséquences du 1)

3) Je pense qu'il faut utiliser \frac{u<sub>n+1</sub>}{u<sub>n</sub>} mais je ne trouve pas la forme de un

Merci

Posté par
Kollewre : similitudes 30-04-12 à 16:54

Désolé je ne maitrise pas bien le latex pour écrire.

b) vecteur Mi et vecteur Mi+1

Réponse:
1) 2}" alt="k=\frac{1}{2}" class="tex" />

3) Je pense qu'il faut faire: un+1/un mais je ne trouve pas la forme de un

Posté par
dhaltere : similitudes 30-04-12 à 17:09

et si tu apprenais à utiliser systématiquement le bouton "Aperçu" avant de te jeter sur le bouton "POSTER" ?

Posté par
Kollewre : similitudes 30-04-12 à 17:28

merci pour la réponse qui m'aide pas !

Posté par
dhaltere : similitudes 30-04-12 à 17:34

et tu crois que tes pavés illisibles vont t'aider ?
quel culot.

Posté par
KollewTransformations 11-05-12 à 22:45

Bonsoir,
Soit: f(z)=\frac{-1+i}{2}z+2+i
1) Déterminer la nature et les caractéristiques de la transformation?

2)Soit z0=0 et zn+1=f(zn)
a) Calculer les huits premiers termes de la suite (zn).
Placer le point invariant O et les points dans un repère.

b)Quelles sont les conséquences des résultats de la question 1) pour tout i sur les vecteurs \vec{OMi} et \vec{OMi+1}?

c)Soit (un) la suite réelle telle que pour tout n, un=OMn
Démontrer que (un) est géométrique puis déterminer sa limite. En déduire le comportement des points Mn quand n tend vers +\infty.

Réponse:
1) J'ai trouvé une homothétie de rapport k=\frac{1}{\sqrt2} et de centre W=1+i (point invariant)
Et une rotation d'angle \frac{-3pi}{4}

2)a) z1=2+i  ;  z2=\frac{1}{2} + \frac{3i}{2}  ;  z3=1 + \frac{i}{2}  ;  z4=\frac{5}{4} + \frac{5i}{4}  ;  z5=\frac{3}{4} + i  ;  z6=\frac{1}{8} + \frac{7i}{8}  ;  z7=\frac{3}{2} + \frac{5i}{8}  ;  z8=\frac{15}{16} + \frac{23i}{16}

b) Les conséquences: je pense que les angles sont conservés..

c)Voilà le problème: Je n'arrive pas à démontrer que la suite (un) est géométrique.
Je pense qu'il faut faire: \frac{Un+1}{Un}=q et que Un+1=\frac{-1+i}{2}Un+2+i mais je trouve pas à quoi correspond Un=??

Merci.

*** message déplacé ***
* Océane > le multi-post n'est pas toléré sur le forum ! *

Posté par
Labore : Transformations 11-05-12 à 23:01

Bosoir
je trouve pas à quoi correspond Un=??

un=OMn=|zn|
la transformation est une  similitude de rapport |(-1+i)/2|=√2/2

*** message déplacé ***

Posté par
Kollewre : Transformations 11-05-12 à 23:21

Pour la question 1) l'angle de rotation est-il exact?

2)c) En calculant, je trouve: \frac{Un+1}{Un}=\frac{-1}{2} + 2\sqrt{2} + \frac{i}{2} + i\sqrt{2}

Mais je ne vois pas en quoi, la suite est géométrique.

*** message déplacé ***

Posté par
Kollewre : similitudes 12-05-12 à 20:41

Bonjour,
J'aurais besoins d'une aide pour continuer.
Merci

Posté par
slorevivre : similitudes 12-05-12 à 21:04

Bonjour
f est la composee d'une homthetie rapport \dfrac{\sqrt 2}{2} et d'angle \dfrac{3\pi}{4}rotation

Posté par
slorevivre : similitudes 12-05-12 à 21:09

de centre \Omegaaffixe (1+i) ok

Posté par
slorevivre : similitudes 12-05-12 à 21:16

les vecteurs \vec {\Omega M_i} ;\vec {\Omega M_{i+1}}: le deuxieme est   l'image par f du premier donc la longueur du deuxieme est celle du premier multipliee par k=\dfrac{\sqrt 2}{2} et entre eux ils font \dfrac{3\pi}{4}
de meme la suite (u_n) est geometrique de raison \dfrac{\sqrt 2}{2}et cette raison est strictement entre 0 zet 1 donc la suite  tend vers $0 donc tes points tendent à se rapprocher de \Omega

Posté par
slorevivre : similitudes 12-05-12 à 21:16

ton enonce est peu clair a

Posté par
slorevivre : similitudes 12-05-12 à 21:17

avec O et \Omega

Posté par
Kollewre : similitudes 12-05-12 à 21:19

Merci pour les vérifications ! J'aurais besoins d'aide sur la question 2)c.

Posté par
Kollewre : similitudes 12-05-12 à 21:21

En effet, le point O n'existe pas dans l'énoncé. C'est moi qui l'ai mis car je n'arrivais pas à mettre avec le latex donc en fait O=.

Posté par
slorevivre : similitudes 12-05-12 à 21:23

une similitude multiplie les longueurs de segments par k son rapport et  u_n est la longueur \Omega M_n et ce segment  [Omega M_n]/tex] devient par f le segment  [tex]\Omega M_{n+1} donc sans calcul u_{n+1}=\dfrac{\sqrt 2}{2}u_n

Posté par
slorevivre : similitudes 12-05-12 à 21:24

ok en fait garde O pour l'origine du repere

Posté par
Kollewre : similitudes 12-05-12 à 21:34

Je vais tracer la figure et remettre tout ça en ordre.
Il me reste 3 questions, je reviendrais si je n'y arrive pas.

Merci Sloreviv.

Posté par
slorevivre : similitudes 12-05-12 à 21:40

Ok je reviendrai dans un momment ou  demain  tracer c'est TB

Posté par
Kollewre : similitudes 12-05-12 à 22:22

Entre tous mes points z1 ; z2 .. z8 je devrais avoir à chaques fois une rotation de 3/4 ?

Posté par
slorevivre : similitudes 12-05-12 à 22:47

l'angle de sommet \Omega :\quad {(\vec {\Omega M_i};\vec{\Omega M_{i+1})}=\dfrac{3\pi}{4}

Posté par
slorevivre : similitudes 12-05-12 à 22:53

voila

similitudes

Posté par
Kollewre : similitudes 12-05-12 à 23:05

Merci, j'avais fait une erreur sur z6 donc z7 et z8 étaient faux.

Posté par
slorevivre : similitudes 12-05-12 à 23:09

bon eh bien pour ce soir je stoppe je regarderai demain
si tu as des soucis sur ce sujet

Posté par
Kollewre : similitudes 12-05-12 à 23:33

Voilà le reste de l'énoncé:
3)a)Tracer sur le graphique la ligne brisée M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7.


b) Quelles sont les conséquences des résultats de la questions 1) pour tout i* sur les vesteurs Mi-1Mi et MiMi+1?

c)Soit (vn) la suite réelle telle que pour tout n, vn=MnMn+1
Démontrer que la suite (vn) est géométrique.
En déduire la longueur de la ligne brisée M0 M1 ..Mn quand n tend vers +\infty.

Réponse:
a) et b) sont faites à partir du graphique.

c) On a vn=MnMn+1 donc vn+1=Mn+1Mn+2
Avec le graphique je vois aussi que vn+1=\frac{\sqrt2}{2}vn

Je ne sais pas si c'est exact.

Posté par
slorevivre : similitudes 13-05-12 à 10:37

Je reviens
en fait vu la conservation des angles orientés  (\vec{M_iM_{i-1}};\vec {M_i\Omega})=(\vec{M_{i+1}M_{i}};\vec {M_{i+1}\Omega})et donc
(\vec{M_iM_{i-1}};\vec{M_iM_{i+1}})
=(\vec{M_iM_{i-1}};\vec {M_i\Omega})+(\vec {M_i\Omega};\vec{M_iM_{i+1}})\\=(\vec{M_iM_{i-1}};\vec {M_i\Omega})+(\vec {M_{i-1}\Omega};\vec{M_{i-1}M_{i}})\\=(\vec{M_iM_{i-1}};\vec {M_i\Omega})+\pi+(\vec {M_{i-1}\Omega};\vec{M_{i}M_{i-1}})\\=(\vec {M_{i-1}\Omega};\vec{M_{i}M_{i-1}})+(\vec{M_iM_{i-1}};\vec {M_i\Omega})+\pi\\=(\vec {M_{i-1}\Omega};\vec {M_i\Omega})+\pi\\=(\vec {\Omega M_{i-1}};\vec {\Omega M_{i}})+\pi=\dfrac{3\pi}{4}+\pi=\dfrac{7\pi}{4}=\dfrac{-\pi}{4}+2\pi\\ \\ \underline{(\vec{M_iM_{i-1}};\vec{M_iM_{i+1}})=\dfrac{-\pi}{4}}

et aussi  comme les distances sont multipliées par k=\dfrac{\sqrt 2}{2} , comme tu l'as dit :

\Vert{\vec{M_iM_{i-1}}\Vert \times \dfrac{\sqrt 2}{2}=\Vert{\vec{M_{i+1}M_{i}}\Vert

Posté par
slorevivre : similitudes 13-05-12 à 10:45

et \Sigma_{k=0}^{n-1}M_{k}M_{k+1}=M_0M_1\times \dfrac{(1-(\dfrac{\sqrt 2}{2})^n)}{1-\dfrac{\sqrt 2}{2}}\\=\sqrt 2\times \dfrac{(1-(\dfrac{\sqrt 2}{2})^n)}{1-\dfrac{\sqrt 2}{2}}


qui tend quand n tend vers +\infty vers

\sqrt 2\times \dfrac{(1)}{1-\dfrac{\sqrt 2}{2}}=2\times \dfrac{(1)}{\sqrt 2-1}=2(\sqrt 2+1)

Posté par
Kollewre : similitudes 13-05-12 à 10:51

Bonjour,
Je comprends toutes ces relations mais je ne vois pas en quoi on peut dire que (un) et (vn) sont des suites géométriques.

Posté par
slorevivre : similitudes 13-05-12 à 12:19

une homothetie h de rapport k' multiplie les longueurs par |k'| : si [A,B] devient par h  [C,D] ( h(A)=C;h(B)=D) alors CD=|k'| AB

Une rotation r comme tte isometrie conserve les distances:  si [A,B] devient par r  [C,D] ( r(A)=C;r(B)=D) alors CD= AB

la composee S d'une homthetie de rapport k' et d'une rotation est une similitude directe de rapport k=|k'| :
donc  si [A,B] devient par r  [C,D] ( S(A)=C;S(B)=D) alors CD=k AB donc

le segment[\Omega M_n] devient par S [\Omega M_{n+1}] donc \Omega M_{n+1}=\dfrac{\sqrt 2}{2}\Omega M_{n}

le segment[M_{n-1} M_n] devient par S [M_n M_{n+1}] donc M_n M_{n+1}=\dfrac{\sqrt 2}{2}M_{n-1} M_n

Posté par
Kollewre : similitudes 13-05-12 à 12:59

Je vais reprendre tout ça.
Merci pour toutes ces aides Sloreviv.

Posté par
dhaltere : similitudes 13-05-12 à 15:23

Ah, Kollew, je vois que tu as fait l'effort de resaisir ton brouillon initial et que tu as trouvé une bonne âme en sloreviv pour te répondre.

si tu avais fait cet effort lors de ton premier jet, il y a 15 jours, je t'aurais répondu.
mais tu as préféré l'aveuglement...

je me permets tout de même un corrigé synthétique, parce que, en particulier vers la fin, la solution de sloreviv est un peu imprécise.
Rappels utiles pour la lecture qui suit
\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2
pour tout r\neq1, la somme des termes de la série géométrique de raison r\quad:\quad 1+r+r^2+\cdots+r^n=\sum_{k=0}^nr^k=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}

1)
f(z)=\frac{-1+i}2z+2+i
est de la forme
f(z)=az+b, avec a=\frac{-1+i}2\neq1 et b=2+i
le cours nous demande donc de savoir que cette transformation est une similitude directe
son centre est donné par le "point fixe", c'est à dire l'unique solution à l'équation f(z)=z
son rapport est le module |a|, son angle un argument du nombre complexe a

soit \omega la solution de l'équation du point fixe, on trouve
\omega=1+i=\frac1{\sqrt2}e^{i\frac{\pi}4}

le nombre a sous forme exponentielle nous donne
a=\frac1{\sqrt2}e^{i\frac{3\pi}4}

donc f est la similitude directe de centre \omega=1+i={\sqrt2}e^{i\frac{\pi}4}, de rapport |a|=\frac1{\sqrt2}, d'angle \theta=\frac{3\pi}4

Rappelons enfin que la fonction f peut aussi s'écrire :
f(z)-\omega=a(z-\omega)

2)
z_0=0 et z_{n+1}=f(z_n)
La définition de z_n nous permet donc d'écrire :
z_{n+1}-\omega=a(z_n-\omega)

posons t_n=z_n-\omega
alors
t_0=-\omega et t_{n+1}=z_{n+1}-\omega
et donc
t_{n+1}=a\times t_n
on a ici une suite géométrique complexe et les mêmes raisonnement que ceux vus dans le cas des réels s'appliquent, on établit donc que
t_n=a^nt_0
et donc en revenant à z_n=t_n+\omega

z_{n}=\omega(1-a^n)

Soit \Omega le point d'affixe \omega
On construit \vec{\Omega M_{n+1}} ainsi :
rotation de \vec{\Omega M_{n}} d'un angle \frac{3\pi}4, contraction de sa norme d'un facteur \frac1{\sqrt2}

On construit M_{n+1} ainsi :
rotation de M_{n} autour du point \Omega d'un angle \frac{3\pi}4, contraction du segment d'un facteur \frac1{\sqrt2}

un petit dessin :
similitudes
et un tableau des premières valeurs :
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline n & z_n & z_n & z_n \\\hline 0 & z_0=\frac1{2^{-1}}( 0+0i) & z_0=\frac1{0,5}( 0+0i) & z_0=0+0i \\\hline 1 & z_1=\frac1{2^{0}}( 2+1i) & z_1=\frac1{1}( 2+1i) & z_1=2+1i \\\hline 2 & z_2=\frac1{2^{1}}( 1+3i) & z_2=\frac1{2}( 1+3i) & z_2=0,5+1,5i \\\hline 3 & z_3=\frac1{2^{2}}( 4+2i) & z_3=\frac1{4}( 4+2i) & z_3=1+0,5i \\\hline 4 & z_4=\frac1{2^{3}}( 10+10i) & z_4=\frac1{8}( 10+10i) & z_4=1,25+1,25i \\\hline 5 & z_5=\frac1{2^{4}}( 12+16i) & z_5=\frac1{16}( 12+16i) & z_5=0,75+1i \\\hline 6 & z_6=\frac1{2^{5}}( 36+28i) & z_6=\frac1{32}( 36+28i) & z_6=1,125+0,875i \\\hline 7 & z_7=\frac1{2^{6}}( 64+72i) & z_7=\frac1{64}( 64+72i) & z_7=1+1,125i \\\hline 8 & z_8=\frac1{2^{7}}( 120+120i) & z_8=\frac1{128}( 120+120i) & z_8=0,9375+0,9375i \\\hline \end{array}
la dernière colonne donne des valeurs exactes car le dénominateur de la colonne précédente est une puissance entière de 2

u_n est une longueur, u_n=\Omega M_n=||\vec{\Omega M_n}||, c'est un réel positif

et puisque l'affixe de \vec{\Omega M_n} est z_n-\omega=t_n et que t_n=a^n t_0 et que t_0=-\omega, on a immédiatement
u_n=|t_n|=|a|^n |\omega|
ce qui permet d'obtenir :
u_n=\frac1{\sqrt2}^n} \times\sqrt2=\left(\frac1{\sqrt2}\right)^{n-1}}
cette suite est donc géométrique et sa raison étant strictement entre 0 et 1, elle converge vers 0
ce qui s'interprète par le fait que la longueur \Omega M_n tend vers 0, donc que M_n tend vers \Omega

3)
on s'intéresse au vecteur \vec{M_nM_{n+1}}, à sa norme, et à la somme des normes des vecteurs successifs
l'affixe de \vec{M_nM_{n+1}} est z_{n+1}-z_n et au vu de la formule établie pour z_n=\omega(1-a^n), nous avons très simplement
z_{n+1}-z_n=\omega(1-a^{n+1})-\omega(1-a^n)
qu'on peut simplifier et factoriser pour obtenir

z_{n+1}-z_n=\omega(1-a)a^n

c'est encore une suite géométrique complexe

la suite v_n=M_nM_{n+1}=||\vec{M_nM_{n+1}}|| est une suite réelle et vaut
v_n=|z_{n+1}-z_n|=|\omega|\times|1-a|\times|a|^n
nous rappelons
|\omega|=\sqrt2
a=\frac{-1+i}2=\frac1{\sqrt2}e^{i\frac{3\pi}4}
nous calculons
|1-a|=\sqrt{5}/\sqrt2

donc finalement
v_n=\frac1{\sqrt2^n}\sqrt5=\sqrt5\left(\frac1{\sqrt2}\right)^n

Calcul du cumul des longueurs de ces segments
\sum_{k=0}^nv_k=\sqrt5\sum_{k=0}^n\left(\frac1{\sqrt2}\right)^k
et la somme est celle d'une suite géométrique, dont j'ai rappelé l'expression équivalente au début de ce corrigé

\sum_{k=0}^nv_k=\sqrt5\dfrac{1-\left(\frac1{\sqrt2}\right)^{n+1}}{1-\frac1\sqrt2}

en multipliant numérateur et dénominateur par la partie conjuguée 1+\frac1{\sqrt2}, on simplifie en
\sum_{k=0}^nv_k=\sqrt5(2+\sqrt2)\left(1-\left(\frac1{\sqrt2}\right)^{n+1}\right)

quand n\to\infty la quantité \left(\frac1{\sqrt2}\right)^{n+1}\to0

et donc
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^nv_k=\sqrt5(2+\sqrt2)

Posté par
slorevivre : similitudes 13-05-12 à 15:58

ah oui bonjour  dhalte , je realise que u_0=\sqrt 5 et non \sqrt 2 (msg 10.45 ce jour)

par contre je crois que la ligne brisee s'arrete à M_n donc la somme des v_k s'arrete à k=n-1

Posté par
dhaltere : similitudes 13-05-12 à 17:26

la somme des segments de M_0 à M_n est \sum_{k=0}^{n-1}v_k

la somme des segments de M_0 à M_{n+1} est \sum_{k=0}^{n}v_k

mais comme l'énoncé s'intéresse à la limite quand n\to\infty, on a
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}v_k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}v_k


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