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Similitudes
Bonjour, voici un exercice sur lequel je bloque, je n'ais jamais eu ce genre de question (parti A) et ne sais pas comment la traiter:
Parti A: Restitution organisée de connaissances
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct.
On supposera connu le résultat suivant:
une application f du plan dans lui-même est une similitude direct si et seulement si f admet une écriture complexe de la forme z' = az + b où a 
_ {0} et b . Démontrer que si A, B, A' et B' sont 4 points tels que A est distincts de B et A' est distinct de B', alors il existe une unique similitude directe transformant A en A' et B en B'.
Parti B:
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O;
;
), unité graphique 2cm.
On note A,B,C,D et E les points d'affixes respectives:
z_A=2i ; z_B=2 ; z_C=4+6i ; z_D=-1+i ; z_E=-3+3i
1) Placer les points sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure des questions.
2) Déterminer la nature du triangle ABC.
3)Soit f la similitude plane directe telle que f(A)=D et f(B)=A.
a)Donner l'écriture complexe de f.
b) Déterminer l'angle, le rapport et le centre 
de cette similitude.
c) Montrer que le triangle DAE est l'image du triangle ABC par la similitude f.
d) En déduire la nature du triangle DAE.
4) On désigne par 
1 le cercle de diamètre [AB] et par 2 le cercle de diamètre [AD].
On note M le second point d'intersection du cercle 1 et de la droite (BC), et N le second point d'intersection du cercle 2 et de la droite (AE).
a) Déterminer l'image de f par la similitude f.
b)En déduire la nature du triangle MN.
c) Montrer que MB * NE = MC * NA.
Mes réponses:
Parti B:
2) AB = |b-a| = |2-2i| = 
8 = 22
AC = |c-a| = |4+4i| = 32 = 42
BC = |c-b| = |2+6i| = 40
AB² + AC² = 40
BC² = 40
=> donc d'après Pyhtagore ABC est rectangle en A.
3a)
{d=ax + y
{a=bx+y
{-1+i=2ix+y (1)
{2i=2x+y (2)
(1)-(2):
-1-i = 2x(i-1) <=> 2x=[(-1-i)(-1-i)]/[(i-1)(-i-1)] <=> 2x=i <=> x=(1/2)i
On en déduit ensutie que y = i
donc f : z' = (1/2)iz + i
b) On peut donc déduir de l'écritude complexe de f son rapport k=1/2, son centre =i et son angle 
=
/2. (Il ne faut pas l'expliquer par le calcul si ?)
c)On sait d'après l'énoncé que f(A)=D et f(B)=A
f(C)= (1/2)ic + i = (1/2)i(4+6i) + i = -3 + 3i = z_E
le triangle DAE est donc bien l'image du triangle ABC dans la similitude f.
d) DAE est donc un triangle rectangle car la similitude conserve les angles.
4a) Je n'arrive pas a trouver l'affixe du point M, je pourrai calculer la distant entre M et le centre du cercle et aussi calcul la position du centre du cercle qui est le milieu de AB mais je ne sais pas quoi en faire ensuite. Quelqu'un aurait il une idée ?
Merci d'avance 
Bonjour deadinsoul
pour la partie A, tu devrais regarder dans ton livre...car c'est une démonstration exigible, et je pense qu'elle doit être faite dans ton bouquin
en réalité tu vas montrer que le système obtenu permet de déterminer un nombre a, complexe non nul, et b complexe, et donc qu'il existe bien une similitude répondant à la question
tu poses Za, ZB, ZA' et ZB' les affixes
tu dis que S(A)=A' et S(B)=B' ssi ZA'=aZA+b et ZB'=aZB+b
d'où
a = (ZB'-ZA')/(ZB-ZA) et b=ZA'-(ZB'-ZA')/(ZB-ZA)ZA
or A'
B' donc a0 et on définit ainsi une unique similitude directe répondant à la question
?C'est comme ceci que j'ai pu trouver a et b dans la Parti B, avec un système.
Sinon pour le reste tout est juste ?
alors par f
[AB] a pour image [DA]
1 a pour image 2
[BC] a pour image [AE]
donc
1
[BC] a pour image 2[AE]
donc M a pour image N
donc MN est rectangle (puisque c'est l'angle de la similitude)
voilà !...
c'est l'intersection...
la similitude conserve les "contacts" donc les intersections
aucun calcul à faire
non...c'est seulement écrire ton rapport de similitude
il peut s'écrire AN/BM
mais aussi EN/MC
c'est donc égal
et ensuite tu fais un produit en croix, et tu obtiens ton résultat
J'aurais une autre question, mon prof m'a dit que pour trouver les coordonnées de il falait pas regarder l'écriture complexe de f : z'=(1/2)iz + i et en conclur que ces coordonnées sont 
= i, mais qu'il falai resoudre une équation qui parle de 'a' et de 'b' mais je ne me souvien plus la formule qu'il ma dit. Connaisseriez-vous cette formule ? Est ce que le faite que i dans l'écriture complexe de f soit l'affixe de par pur coincidence ou est ce qu'il est possible de savoir son affixe juste en regardant la forme complexe de f comme je l'ais fait ?
Merci d'avance !
attention, dans un message précédent, je t'ai dit qu'il fallait revoir ton centre....
si tu as z'=az+b
pour chercher (z) centre de la similitude
a pour image lui-même
donc pour le trouver on résout z=az+b
soit z(1-a)=b
ou bien a=1, et tu as z'=z+b, c'est une translation, et il n'y a pas de point fixe
ou bien a1 et tu obtiens z = b/(1-a) je suppose que c'est ce dont t'a parlé ton prof
tu ne vois pas l'affixe de rien qu'à regarder l'expression de f, attention !
z = (1/2)iz + i
z - (1/2)iz = i
z(1-(1/2)i) = i
z = [i(1+(1/2)i)]/[(1+(1/2)i)(1-(1/2)i)]
z = 4/10 + (4/5)i
Sa me semble bizard
J'ai encore un soucis ^^' le rapport on ne peut pas le voir sur f aussi je suppose ? Car je dirait 1/2 et sur mon graphique ça correspond mais en le calculant je trouve 1/2:
AD/BA= |d-a|/|a-b| = |-1+i-2i|/|2i-2| = (10)/(8) 1/2
le rapport, si on le voit
c'est la norme du complexe a
|1/2 i|=1/2
je crois que tu ne sais pas calculer un module car AD/BA= |d-a|/|a-b| = |-1+i-2i|/|2i-2| est correct et donne bien 1/2 
Ah si sayai, encore un erreur de signe, décidement x'D !
AD/BA = (2)/(22) = 1/2
Merci une fois de plus ^^'
Bon et bien maintenant c'est pour calculer l'angle que j'ai du mal ...
(BA,AD)= arg [(-1-i)(-2-2i)]/[(-2+2i)(-2-2i)] = arg i/2 = et non /2.
j'ai fait le produit scalair de BA et AD je trouve bien 0. Mais je suppose que j'ai fait un erreur au niveau de la place des vecteurs ou de leur affixe dans mes calculs ?
eh..;arg(i/2) vaut pi/2 et non pi!....
place le dans un repère ton i/2
tu vois bien que tu as un angle droit (et non plat) à partir du 1er vecteur du repère
OK ?
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