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Similitudes
A et B sont deux points du plan orienté dans le sens direct tels que AB=6 cm, M est un point du plan. On considère la rotation r1 de centre A et d'angle 
/3 et la rotation r2 de centre B et d'angle de mesure (-2)/3. Pour tout point M du plan, on note M1 et M2 les images respectives de M par r1 et r2.
1) Le but de cette question est de prouver que pour tout point M du plan, le point I est un point fixe.
On pose f=r1 o r2^-1 où r2^-1 désigne la rotation réciproque de r2
a) Déterminer f(M2)
b)Montrer que f est une symétrie centrale et en déduire que I est un point fixe.
2) Dans cette question, le plan est muni d'un repère orthonormal direct (O,
,
) tel que A et B aient pour afficxes respectives -3 et 3. On note z1 et z2 les affixes respectives des points M1 et M2. M est un point du plan distinct de A et de B d'affixe z.
a) Exprimer z1 et z2 en fonction de z
b)Montrer que (z2-z)/(z1-z)=i
3*(z-3)/(z+3)
c) En déduire que: (vecteur MM1, vecteur MM2)=(vecteur MA, vecteur MB) + /2 +2k (k 
Déterminer alors l'ensemble (
) des points M du plan tels que M, M1, M2 soient alignés
Voilà j'ai des bonnes lacunes par rapport à cette partie du programme donc si quelqu'un pouvait m'aider svp?
Soit r1 la rotation de centre A et d'angle /3 et la rotation r2 de centre B et d'angle -2/3
A et B ont pour affixes respectives -3 et 3. Pour tout point M d'affixe z, on note M1 d'affixe z1 et M2 d'affixe z2 les images respectivs de M par r1 et r2.
a) Exprimer z1 et z2 en fonction de z
Alors j'ai trouver sans me tromper je pense z1= (z+3)e^ /3 -3
z2=(z-3)e^((-2)/3) + 3
et donc mon porblême est
b) Montrer que (z2-z)/(z1-z)=i3 * (z-3)/(z+3)
Donc je ne suis jamais arrivée à ce résultat même si j'en suis proche donc si vous pouviez m'aider svp
*** message déplacé ***
la FAQ du forum
) :
j'ai reformulé pour centrer sur mon probleme comme je n'ai pas recu d'aide voila c'est tout dsl
Re bonsoir uleane
Je me suis penché sur ton problème et je suis d'accord avec toi pour l'expression de et de
en fonction de z sauf que tu as oublié le i dans les exponentielles.
En ce qui concerne la démonstration de l'égalité du 2)b), je me suis peut-être trompé mais il y a signe "moins" dont je n'arrive pas à me débarasser.
Je trouve :
Kaiser
je trouve (z2-z)/(z1-z)=((i3)/2 + i +1/2)* ( (z-3)/(z+3))
et je ne trouve pas mon erreur mais c'est évident qu'il yen a une
et j'ai refait mes calculs plus d'une fois donc je ne sais pas quoi faire
en fait j'arrive à z2-z/z1-z= (z-3)/(z+3) * (e^-2i/3 - 1)/(e^i/3 - 1)
Est ce qu'à ce stade là il y a une erreur?
ensuite e^-2i/3= cos -2i/3 + i sin -2i/3 = -3/2 - i/2
j'ai un doute à ce niveau là parce que je suis vraiment nulle en trigo
donc voila
est ce que tu pourrais m'aider encore dsl
et sinon j'ai des problêmes dans la question 2 a et la 2 b accessoirement
2a je trouve f(M2) donne zm2=e^i (z - za) + e^i/3 (zb - za) + za
je ne suis même pas sur que ca soit ce qu'il faut faire
et pour la 2b symétrie centrale autrement dit c'est une rotation d'angle ? parce qu'avec ce que j'obtiens je ne sais pas comment prouver qu'il s'agit bien d'une rotation d'angle pi et je trouve un centre avec d'affixe 
=za + (e^i/3 (zb - za))/2
Mais je ne trouve pas les coordonnées de I pour montrer qu'il s'agit bien du centre
bref c'est la misère
pourrais tu m'aider?
En fait, je ne développe pas.
On peut remarquer que l'on a .
On a alors
Ensuite, en factorisant par , on a :
Et là, je me rends compte que j'avais fait une erreur de calcul et on trouve bien le résultat attendu.
Kaiser
je ne comprends pas comment tu as factorisé par e^i/6 et les i sont juste un oubli non?
dsl...
Pour la factorisation :
et
Par contre, je n'ai pas compris la deuxième partie de ta question.
Kaiser
mci pour la factorisation
L'autre partie de ma question allait avec cette partie de l'énoncé
"1) Le but de cette question est de prouver que pour tout point M du plan, le point I est un point fixe.
On pose f=r1 o r2^-1 où r2^-1 désigne la rotation réciproque de r2
a) Déterminer f(M2)
b)Montrer que f est une symétrie centrale et en déduire que I est un point fixe."
Pour la 1) j'ai trouver si on pose f(M2)=M'2 d'affixe z2'
z2'=e^i (z - za) + e^i/3 (zb - za) + za
(avec M d'affixe z, A(za), B(zb) )
mais je me demande si je réponds réellement à la question et je ne suis pas sure du résultat
Ensuite pour la b
Est ce qu'une symétrie centrale est bien une rotation d'angle pi?
Si oui je ne sais pas comment prouver que f en est bien une à partir de ca z'=e^i (z - za) + e^i/3 (zb - za) + za
et pour trouver le centre de cette rotation je fais z=z'
je trouve =za + (e^i/3 (zb - za))/2
mais je ne sais pas comment trouver l'affixe de I sachant que I est le milieu de M1M2 pour montrer que I est le centre de cette rotation
est ce que c'est un peu plus clair?
On va y aller par étapes :
pourquoi ne remplaces-tu pas et
par leurs valeurs ?
Une symétrie centrale est bien une rotation d'angle .
parce qu'elles ne sont données que pour les questions suivantes donc je ne peux pas les utiliser
Une similitude directe est une application du type .
Si a est différent de 1, alors la similitude admet un unique point fixe I et c'est une rotation autour de I et d'angle qui est un argument de a.
Applique ceci pour répondre à la question.
daccord mais comment montrer que c'est ce point I et pas un autre et comment montrer que l'angle est égal a pi?
dsl
Essaie de mettre l'expression de en fonction de z,sous la forme
et, en utilisant ce que je t'ai dit précédemment, tu pourras répondre à cette question.
je vais essayer mais fin j'ai des za et des zb qui trainent que je ne peux pas faire disparaitre donc je sais pas vraiment
bon als ca me donne z2'= -z +2za + e^i/3 (zb - za) + za
donc on a a=-1 et b=2za + e^i/3 (zb - za) + za
donc comme a différent de 1 f admet un unique point invariant et ici il s'agit d'une rotation d'angle égal à un argument de a
arg a= arg -1 = [2
donc il s'agit bien d'une symétrie centrale
mais je ne sais pas comment montrer que le centre est bien I...
alors j'ai réussi pour I c'est parfait mais je voudrais revenir à ton post de 13h51
je ne comprends pas comment tu passes de - (z-3)/(z+3) * (2cos /6)/(2i sin /6)= i*(z-3)/(z+3)* (3/2)/(1/2)
Personnellement je trouve
- (z-3)/(z+3) * (3/i)
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