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similitudes directes du plan

Posté par cathouu (invité) 02-11-05 à 13:45

bonjour

soient trois points deux à deux distincts A,B,C d'affixe respectif a,b,c
montere que le triangle ABC est équilatéral ssi: a²+b²+c²=ab+bc+ca

alor moi j'ai di que a²=(exp(i/3)(c-b)+b)²
b²=(exp(i/3)(a-c)+c)²
c²=(exp(i/3)(b-a)+a)²
ensuite j'arrive à a²+b²+c²=bc+ca+ab+i(3)(bc-b²+ca-c²+ab-a²)
et alor la.. je suis bloquée..
comment faire?

merci

Posté par
stokastikre : similitudes directes du plan 02-11-05 à 14:56


Je ne comprends pas ce que tu as fait mais si tu as

a²+b²+c²=bc+ca+ab+i3(bc-b²+ca-c²+ab-a²)

alors la partie imaginaire du membre de droite est nulle puisque le membre de gauche est réel pur.


Posté par cathouu (invité)re : similitudes directes du plan 02-11-05 à 15:32

non justement le membre de gauche n'est pa forcément réel pur
ms bon je vien de réaliser que si
a²+b²+c²=bc+ca+ab+i(3)(bc-b²+ca-c²+ab-a²)
alors bc+ca+ab-a²-b²-c²+i(3)(bc-b²+ca-c²+ab-a²)=0
et (1+i3)(bc-b²+ca-c²+ab-a²)=0
donc (bc-b²+ca-c²+ab-a²)=0
bon maintenant reste a espérer que ce que j'ai fait avant soit juste...

Posté par
stokastikre : similitudes directes du plan 02-11-05 à 16:57


oups... tu as raison ce n'est pas un réel à gauche... suis bête

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : similitudes directes du plan 02-11-05 à 17:42

Bonjour cathouu et stokastik;
Si A,B et C désignent les images respectives des complexes a,b et c on peut écrire (suivant que le triangle ABC est direct ou indirect) que:
4$\fbox{ABC\hspace{5}est\hspace{5}equilateral\Longleftrightarrow ou\{{C=r(B)\\C=r^{-1}(B)} ou r est la rotation de centre A et d'angle \frac{\pi}{3} c'est à dire que 4$\blue\fbox{ABC\hspace{5}est\hspace{5}equilateral\Longleftrightarrow ou\{{c-a=e^{\frac{i\pi}{3}}(b-a)\\c-a=e^{-\frac{i\pi}{3}}(b-a)}.
D'autre part on a que:
4$\fbox{a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\Longleftrightarrow c^2-(a+b)c+a^2+b^2-ab=0}
vue comme une équation du second degré en c de discriminant 3$\fbox{\Delta=-3(a-b)^2} on voit qu'elle est equivalente à 4$\fbox{ou\{{c=\frac{(a+b)-i sqrt3(a-b)}{2}\\c=\frac{(a+b)+i sqrt3(a-b)}{2}} ou encore que 4$\blue\fbox{ou\{{c-a=\frac{(b-a)+i sqrt3(b-a)}{2}=e^{\frac{i\pi}{3}}(b-a)\\c-a=\frac{(b-a)-i sqrt3(b-a)}{2}=e^{-\frac{i\pi}{3}}(b-a)}

Conclure

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