Excusez-moi erreurs d'énoncé, le bon énoncé est :

Soient 3 points distinct A,B et C.
Montrer que A est le milieu de [BC] si et seulement si il existe une similitude directe S tel que S(A) = A, S(B) = C et S(C) = B

Bonjour,

Le sens direct:

Si est le milieu de avec et distincts l' homothétie de centre et de rapport -1 convient.

Réciproquement Comme et sont distincts, la similitude directe qui transforme en et en est unique.

Cette similitude est de rapport

Ce n' est pas une translation car

C' est donc une similitude à centre d' angle

Son point invariant étant unique, c' est

Il s' agit donc de l' homothétie de centre et de rapport -1

En conséquence est le milieu de

Bonsoir cailloux,
Je regardais ce topic interessant pour les révisions, d'ailleur je bloquais je me rappellais même plus comment calculer le rapport .

Mais tu(vous) écrit(écrivez) que le rapport vaut -1

Ce qui signifie que dans la relation z'=az+b

a  est le rapport ?

Une démo interescente mais facile...

Bon voici une question plus dure :

Soient A,B et C 3 points distinct du plan.
Soit S la similitude directe tel que S(A) = A, S(B) = C et S(C) = B.
Soit r la réflexion d'axe (BC)
On nomme M' l'image du point M par la transformation r o S.

Déterminer l'ensemble des points K tel que l'équivalence suivante soit vérifiée :

salut numero10

le module de a donne le rapport , l'argument de a donne l'angle de la similitude

Pour numero 10:

Le rapport d'une similitude est toujours strictement positif.

Du coup lorsque l'on veut parler d'une homothétie de rapport négatif on utilise le fait qu'il s'agit de la composée d'une homothétie de rapport opposé(donc positif) et d'une rotation d'angle PI

Ok merci, c'est pour ça que je me posais la question car le rapport est négatif et un module ne peut pas être négatif sauf erreur?

Mais ce pourrait correspondre à une homothétie de rapport -1 en y réfléchissant?

Alors je sais plus je pense que le mieu c'est que je révise mon cours.

Merci lolo248 ça correspond à peu près à ce que je pensais

Sans rentrer dans les détails:

est nécessairement le milieu de

est la réflexion d' axe médiatrice de

L' ensemble cherché est cet axe.

cailloux >>> J'avais personnellement une autre approche...

M appartient au cercle de diamètre [BK]

appartient au cercle de diamètre [CK]

On cherche donc les points K tel que le cercle de diamètre [BK] est pour image le cercle de diamètre [CK] par S.

C'est à dire les points K tel que le segment [BK] est pour image le segment [CK]

En dessinant une figure, ça saute aux yeux que c'est la médiatrice de [BC].

Voila une troisième démo, tout aussi intéressante :

Soit g la similitude indirecte d'écriture complexe
, où a est un réel strictement positif.


Démontré que la longueur de la chaine brisée est lorsque n tend vers l'infini


ps : Je tien à précisez que tout ses énoncés sont une pure invention de ma part...