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Simple calcul.

Posté par Erwan (invité) 12-07-05 à 13:50

Hello,

Comment peut-on passer de :

h(x) = 2x² -x

à

h(x) = 2x² ( 1 - (1/(2xx))  )

?!

(Dans l'optique d'étudier sa limite en +infini)  

Merci !
Erwan

Posté par philoux (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 13:52

en mettant 2x² en facteur et en se souvenant que x=(rac(x)).(rac(x)) pour x>0 puisque tu cherches la limite en +oo

Philoux

Posté par Erwan (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 13:55

Merci Philoux, parfaitement clair

Posté par philoux (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 13:58

>erwan

ici, tu aurais pu ne mettre que x en facteur si c'est plus simple pour toi

La méthode, pour les études à l'oo de ce type de fctions, est de mettre le terme de + haut d° en facteur.

Philoux

Posté par Erwan (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 14:15

Merci pour ton conseil Philoux

Posté par Erwan (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 14:34

Pourquoi "la limite de (sin x)/x, quand x tend vers 0, est égale à 1 ?

  

Posté par philoux (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 14:46

Re

As-tu vu les DL ?

sin x = x - x3/3 + o(x3)

Sinon, je crois (à faire confirmer/infirmer par plus compétents) que c'est un résultat qui vous est demandé de connaître en 1° sans qu'il vous soit possible, à votre niveau, de le démontrer.

A confirmer si je ne dis pas de bêtises...

Philoux


Posté par
Nightmare
re : Simple calcul. 12-07-05 à 14:49

On peut la calculer avec le taux de variation

On a :
3$\rm \frac{sin(x)}{x}=\frac{sin(x)-sin(0)}{x-0}


Jord

Posté par philoux (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 14:54

>NM

mais après ?

Je pensais au théorème des gendarmes en encadrant par des fctions polynomes du développement limité ?

Philoux

Posté par Erwan (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 14:55

Merci philoux...le livre dit :

Comme d'après le cours, limite de (sin x)/x, quand x tend vers 0, égale à 1..

lol mais en fait je ne trouve pas où c'est marqué dans le cours alors je vous demandais   

comme tu le dis, çà n'a pas l'air d'être démontré...

Posté par
Nightmare
re : Simple calcul. 12-07-05 à 14:56

Re

Eh bien on a :
3$\rm \lim_{x\to 0} \frac{sin(x)-sin(0)}{x-0}=sin'(0)=cos(0)=1


Jord

Posté par
Nightmare
re : Simple calcul. 12-07-05 à 14:59

Autrement , sur [0;pi/2] on a :
3$\rm sin(x)<x<tan(x)
donc :
3$\rm 1<\frac{x}{sin(x)}<\frac{tan(x)}{sin(x)}
c'est à dire :
3$\rm 1<\frac{x}{sin(x)}<\frac{1}{cos(x)}

Or , 3$\rm \lim_{x\to 0} 1=\lim_{x\to 0} \frac{1}{cos(x)}=1

donc d'aprés le théorème des gendarmes :
3$\rm \lim_{x\to 0} \frac{x}{sin(x)}=1

Et ainsi en prenant l'inverse :
3$\rm \lim_{x\to 0} \frac{sin(x)}{x}=\frac{1}{1}=1


Jord

Posté par philoux (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 14:59

>NM

Tout simplement, bien vu !

Philoux

Posté par Erwan (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 15:00

>Nightmare :

On la trouve ta démonstration dans le livre "interro des lycées" chapitre 1 ?

Posté par philoux (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 15:01

NM

C'est sensé être connu sin(x) < x < tan(x) pour 0,pi/2 ?

Philoux

Posté par
Nightmare
re : Simple calcul. 12-07-05 à 15:03

Non , je ne crois pas Erwan.

Pour ce qui est de l'encadrement magique que j'ai trouvé :
3$\rm sin(x)<x<tan(x)

Il découle de :
3$\rm cos(x)<1<1+tan^{2}(x)

Ensuite il suffit d'intégrer entre 0 et x


Jord

Posté par Erwan (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 15:44

> Nightmare :

"intégrer entre 0 et x" ?

merci (pour les démonstrations )

Posté par Erwan (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 16:04

sinon on peut pas utiliser "la règle de l'hospital" ?! :

la dérivée de sin x : cos x
la dérivée de x : 1

Donc lim de cos 0, lorsque x tend vers 0, est égale à 1.

Merci

Posté par philoux (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 16:11

>erwan

La règle de l'hospital ne s'applique, sauf erreur, que pour la limite à l'infini.

N'oublions pas la blague favorite des profs de maths :
"La règle de L'Hospital? A n'utiliser qu'en cas d'urgence!".


Philoux

Posté par Erwan (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 16:15

ok lol.

Philoux peux tu juste m'expliquer, comment Nightmare est passé du taux d'accroissement au nombre dérivé "sin'(0)" ? (cf post 14:56)^^

Merci beaucoup en tout cas.

Posté par
otto
re : Simple calcul. 12-07-05 à 16:19

La règle de l'hospital ne s'applique, sauf erreur, que pour la limite à l'infini.

Non non, ca s'applique également au cas 0/0.

Posté par
H_aldnoer
re : Simple calcul. 12-07-05 à 16:19

slt

c'est juste la définition :

3$\rm \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^'(a)

Posté par philoux (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 16:20

>erwan

C'est la définition du nombre dérivée :

Soit I un intervalle ouvert, et x0 un point de I. On dit que f admet une dérivée à droite en x0 si l'accroissement :

( f(x) - f(x0) ) / ( x - x0 )

admet une limite quand x tend vers x0 par valeur supérieure (en restant plus grand que x0). Cette limite est alors notée f'd(x0).

  De même, on dit que f admet une dérivée à gauche en x0 si le même accroissement admet une limite quand x tend vers x0 par valeurs inférieures (en restant plus petit que x0). On note f'g(x0) la dérivée à gauche.

  Si f est dérivable à droite (resp. à gauche) en x0, on dit que la courbe représentative de f admet une demi-tangente à droite ou à gauche) au point (x0,f(x0)).


regardes ici : Cours sur les dérivées et la dérivation

Philoux

Posté par philoux (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 16:23

Oui otto (salut) 16:19, tu as raison j'ai lu trop vite.

Pourquoi n'est pas enseigné en pré-bac ?

Philoux;

Posté par Erwan (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 16:42

Philoux :
Ton post de 16:20 s'illustre t-il par un schéma

Merci bien pour vos aides..j'ai deja pas mal appris en cette journée du 12 juillet

Posté par philoux (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 17:22

>erwan

Ton post de 16:20 s'illustre t-il par un schéma

effectivement, ci-dessous :

Philoux



Simple calcul.

Posté par Erwan (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 17:27

ok. je complète ton explication avec une explication de bouquin.

Posté par philoux (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 17:30

Ok erwan

Tu en as un exemple avec, par exemple :

y = f(x) = |x²-1| aux points d'abscisses -1 et +1

As-tu vu les valeurs absolues ?

Si oui, quelles sont les pentes des tangentes aux points A(-1,0) et B(1,0) ?

Philoux

Posté par Erwan (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 17:37

on otient le nombre dérivé par le taux d'acroissement soit f'(a) qui n'est autre que le coefficient directeur de la tangente...

euh pour les valeurs absolues je les aies vu..mais dans une fonction çà m'embête un peu.  

Posté par philoux (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 17:41

C'est un moyen simple pour générer des points anguleux et illustrer des 1/2 tangentes.

Exprimes f(x) sans valeurs absolues en définissant des intervalles...

Philoux

Si c'est trop difficile, passes à autre chose.

Posté par
Nightmare
re : Simple calcul. 12-07-05 à 17:44

Re bonjour à tous

H_aldnoer> Attention , il manque la limite

Philoux> On utilise l'inégalité des accroissements finis :

Si f et g sont dérivables sur [a;b] et telles que 3$\rm f(x)\le g(x) alors :
3$\rm \Bigint_{a}^{b} f(t)dt\le \Bigint_{a}^{b} g(t)dt

Donc ici , on peut écrire :
3$\rm \Bigint_{0}^{x} cos(t)dt\le \Bigint_{0}^{x} 1dt\le\Bigint_{0}^{x} (1+tan^{2}(t))dt
c'est à dire :
3$\rm sin(x)\le x\le tan(x)

Autrement , le point qui est représenté par ton graphique est un point anguleux (deux demi-tangentes)


Jord

Posté par
Nightmare
re : Simple calcul. 12-07-05 à 17:44

Désolé je n'avais pas vu ton dernier post sur le point anguleux

Posté par philoux (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 17:49

>NM

pas de soucis

mais les valeurs absolues semblent effrayer erwan.

Aurais-tu un ex. de fonction (simple) possédant un point anguleux non introduit par des valeurs absolues ?

Philoux

Posté par Erwan (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 17:52

> Nightmare :
j'avais un peu de mal, mais là en parlant d'intégrales çà devient du chinois (pour l'instant) lol!

Philoux : tu veux dire prendre x1 ou x1 ?

Posté par philoux (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 17:56

>erwan

Pour faire "disparaître" une VA, tu dois connaître le signe de l'élement entre les | |

Ainsi |g(x)|=g(x) si g(x)>=0
et
|g(x)|=-g(x) si g(x)<=0

donc les frontières sur x ne sont pas que x=1...

Philoux

Posté par
Nightmare
re : Simple calcul. 12-07-05 à 18:08

Erwan , tu n'as pas vu l'inégalité des accroissements finis en cours de dérivation ?


Jord

Posté par Erwan (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 18:08

son signe est positif sur:
]-\infty;-1[U]1;+\infty[...
et négatif à l'intérieur des racines ?!

Posté par
Nightmare
re : Simple calcul. 12-07-05 à 18:12

On a :
3$\rm  f : x\to \{{x si x\ge 0\\x^{2} si x<0 qui admet un point anguleux en 0


Jord

Posté par Erwan (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 18:12

Nightmare :euh bonne question^^

Posté par philoux (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 18:16

erwan 18:08 oui c'est bon

Je te laisse avec NM et sa fonction définie par intervalle.

Tu peux éventuellement continuer celle-ci

Bon courage

Philoux

Posté par N_comme_Nul (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 18:18

Nightmare : autant prendre :
a\; :\; x\to\left\{\begin{array}{l}x\;{\rm si}\;x\geq0\\-x\;{\rm si}\;x<0\end{array}\right.

Au fait, le "mapsto" de TeX, il est où ???

Posté par
Nightmare
re : Simple calcul. 12-07-05 à 18:21

Oui N_comme_Nul mais ça revient à la valeur absolue , chose qui ne plait pas à Erwan

Je ne sais pas, il n'est pas integré au serveur je pense.


Jord

Posté par jean-émile (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 18:21

Salut Nightmare

Pour montrer :

sin(x) <= x <= tan(x)    lorsque x est compris entre 0 et pi/2 , il ya plus simple :



Simple calcul.

Posté par jean-émile (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 18:22

Erratum :

lire aire(secteur(OAM)) au lieu de aire(secteur(OPM))

jean-émile



Posté par N_comme_Nul (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 18:24

Ce serait alors une suggestion à faire ça pour l'amélioration du site.

Posté par jean-émile (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 18:24

Erratum 2

lire

aire(triangle(OAM)) <= aire(secteur(OAM)) <= aire(triangle(OAT))

jean-émile

Posté par
Nightmare
re : Simple calcul. 12-07-05 à 18:25

jean-émile , je ne sais pas si déssiner et plus simple qu'intégrer

Posté par Erwan (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 18:25

je sais que :
|x| = x si x0
|x| = -x si x0

Sinon je vais plutôt m'atteler au cours du nombre dérivé et tangente...

Posté par
Nightmare
re : Simple calcul. 12-07-05 à 18:26

Oui Erwan , donc tu peux décomposer ta fonction comme l'a écrit N_comme_Nul


jord

Posté par jean-émile (invité)re : Simple calcul. 12-07-05 à 18:30

Figure correcte :



Simple calcul.

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