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Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur absolue

Posté par
hbx360 13-10-23 à 05:34

Bonjour,

J'ai cet exercice :

Déterminer si f est dérivable au point a considéré et calculer sa dérivé  f'(a) le cas échéant.

f(x)=x+\sqrt{4-x²}, a=2

Dans la correction de l'exercice j'ai ceci :

\lim_{t\rightarrow 0^{-}}\frac{f(2+t)-f(2)}{t}=\frac{t+\sqrt{(4+t)(-t)}}{t}=1-\frac{\sqrt{4+t}}{\sqrt{|t|}}=-\infty

Ce que je ne comprend pas c'est comment on passe de

\frac{t+\sqrt{(4+t)(-t)}}{t}

à

1-\frac{\sqrt{4+t}}{\sqrt{|t|}}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 13-10-23 à 07:28

Bonjour,
Pour -4 < t < 0, on a |t| = \sqrt{-t }\times \sqrt{-t}

Et on peut écrire \sqrt{(4+t)(-t) } comme un produit de deux racines carrées dont \sqrt{-t} .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 13-10-23 à 08:01

Peut-être plus simple :
Avec t < 0, on a -t = \sqrt{-t }\times \sqrt{-t}
Donc t = -\sqrt{-t }\times \sqrt{-t}
A utiliser au dénominateur dans

\dfrac{f(2+t)-f(2)}{t}=\dfrac{t+\sqrt{(4+t)(-t)}}{t} = 1+ ...

Posté par
hbx360re : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 14-10-23 à 12:59

Je ne comprends pas comment
  \sqrt{-t }\times \sqrt{-t} peut être égale à |t| ou à -t

car pour moi   \sqrt{-t }\times \sqrt{-t} = \sqrt{-t\times-t } =  \sqrt{t² } = t et non -t.

De plus je n'arrive pas à comprendre pourquoi on a un moins devant le quotient

1-\frac{\sqrt{4+t}}{\sqrt{|t|}}

J'ai fais comme ça en partant du principe que |t|=-t

\lim_{t\rightarrow 0^{-}}\frac{f(2+t)-f(2)}{t}=\frac{t+\sqrt{(4+t)(-t)}}{t}= \frac{t}{t} +\frac{\sqrt{-t}\times \sqrt{4+t}}{t} = 1+ \frac{\sqrt{-t}\times \sqrt{4+t}}{\sqrt{-t}\times \sqrt{-t}} = 1+\frac{\sqrt{4+t}}{\sqrt{-t}}=1+\frac{\sqrt{4+t}}{\sqrt{|t|}} = -\infty

Mais là aussi je ne comprend pas pourquoi, quel est l'utilité de mettre au dénominateur, la valeur absolue à la racine carré (\sqrt{|t|}).

Posté par
hbx360re : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 14-10-23 à 13:05

Ha si je viens à l'instant de comprendre :

\sqrt{t² } = |t| et |t| = t ou à -t si

t\geq 0 ou t \leq 0

Posté par
carpediemre : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 14-10-23 à 17:42

salut

hbx360 @ 14-10-2023 à 12:59

car pour moi   \sqrt{-t }\times \sqrt{-t} = \sqrt{-t\times-t } =  \sqrt{t² } = t faux


par définition |t| = \sqrt {t^2}

essaie avec t = -2 et avec t = 2

Posté par
hbx360re : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 14-10-23 à 19:19

Oui c'est pour ça que dans mon dernier message j'ai mis que j'avais compris.

Mais pour le moins devant le quotient est-ce que vous avez une idée d'où il vient ?

Posté par
carpediemre : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 14-10-23 à 23:36

Sylvieg te l'a expliqué ...

Posté par
hbx360re : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 15-10-23 à 08:20

Non il me semble pas que Sylvieg me l'ai expliqué car elle met bien dans l'équation un plus :

Sylvieg @ 13-10-2023 à 08:01


\dfrac{f(2+t)-f(2)}{t}=\dfrac{t+\sqrt{(4+t)(-t)}}{t} = 1+ ...


On voit bien qu'elle met =1+... et non 1-...

Sinon est-ce que tu peux me réexpliqué ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 15-10-23 à 08:42

Bonjour,
Je réponds en complétant l'égalité puisqu'il s'agit d'un de mes messages :

\dfrac{t+\sqrt{(4+t)(-t)}}{t} = 1+ \dfrac{\sqrt{(4+t)(-t)}}{t}
Utiliser ensuite ce que j'avais écrit au dessus : t = -\sqrt{-t }\times \sqrt{-t}

Posté par
hbx360re : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 15-10-23 à 10:48

Désolé mais je ne comprend pas pour t = -\sqrt{-t }\times \sqrt{-t}

Car au dénominateur on n'as pas  -t  mais  t     donc on devrait plutôt avoir :

t = \sqrt{-t }\times \sqrt{-t}

donc avoir

\dfrac{t+\sqrt{(4+t)(-t)}}{t} = 1+ \dfrac{\sqrt{(4+t)(-t)}}{t}=1+ \dfrac{\sqrt{(4+t)(-t)}}{\sqrt{-t }\times \sqrt{-t}}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 15-10-23 à 10:58

Cette égalité est fausse :

Citation :
t = \sqrt{-t }\times \sqrt{-t}
Remplaces-y \; t \; par \; -5 \; par exemple.

Posté par
hbx360re : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 15-10-23 à 20:49

Je crois comprendre, en fait,  comme t tend  vers 0 moins, alors on doit prendre

-t=\sqrt{-t }\times \sqrt{-t}  et non pas t.

Mais si t tendait vers 0 plus, alors on aurait dû prendre

t=\sqrt{-t }\times \sqrt{-t}

Est-ce que c'est ça.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 15-10-23 à 21:01

Si a \geq 0 alors a = \sqrt{a} \times \sqrt{a}.
D'où :
Si t \leq 0 alors -t \geq 0 ; donc oui, on a -t = \sqrt{-t} \times \sqrt{-t}

Si t tendait vers 0 par valeurs positives, on ne pourrait pas écrire \sqrt{-t}.

Posté par
hbx360re : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 16-10-23 à 09:37

D'accord j'ai compris.

Merci Sylvieg, carpediem pour votre aide et merci .

Posté par
carpediemre : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 16-10-23 à 17:53

de rien

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 16-10-23 à 18:31

De rien, et à une autre fois sur l'île \;

Posté par
hbx360re : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 20-10-23 à 09:47

Je voulais vous demander, avant de commencer l'exercice comment fait-on pour savoir si on doit faire tendre t\rightarrow 0^{+} ou t \rightarrow  0^{-}.

Et aussi pendant que j'y suis quel est la différence entre faire tendre  t\rightarrow 0^{+} ou 0^{-} et t\rightarrow 0 ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 20-10-23 à 10:33

Je commence par la différence :
Avec t tend vers 0+, on supposera t positif.
Avec t tend vers 0-, on supposera t négatif.
Pour t tend vers 0, on ne suppose rien sur le signe de t.

Quand doit-on faire l'un ou l'autre ?
Si l'ensemble de définition est par exemple ]2;+[, alors on fera tendre x vers 2+.
On dit aussi "x tend vers 2 par valeurs supérieures".
On peut remplacer x par 2+t et faire tendre t vers 0+.
Si l'ensemble de définition est par exemple ]-;5[, alors on fera tendre x vers 5-.
On dit aussi "x tend vers 5 par valeurs inférieures".
On peut remplacer x par 5+t et faire tendre t vers 0-.

Posté par
hbx360re : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 20-10-23 à 11:19

Merci Sylvieg pour tes explications.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 20-10-23 à 11:33

De rien et bonne journée.

Posté par
hbx360re : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 02-01-25 à 20:05

Bonjour, je reviens vers vous parce que en reprenant l'exercice, je me rend compte que je n'ai pas compris pourquoi on a dans :

\lim_{t\rightarrow 0^{-}}\frac{f(2+t)-f(2)}{t}=\frac{t+\sqrt{(4+t)(-t)}}{t}=1-\frac{\sqrt{4+t}}{\sqrt{|t|}}=-\infty

(\sqrt{|t|})

La valeur absolue dans la racine comment on l'obtient ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 02-01-25 à 20:55

Citation :
on a -t = \sqrt{-t} \times \sqrt{-t}
et -t = |t| car t négatif.

Posté par
hbx360re : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 03-01-25 à 14:22

D'accord merci Sylvieg pour ta réponse.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 03-01-25 à 15:10

De rien et bonne année 2025

Posté par
hbx360re : Simplifier une fonction avec une racine carré en valeur abs 03-01-25 à 15:54

Merci et bonne année aussi !


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