Bonjour à tous,
Je n'arrive pas à faire ce probleme si quelqu'un voudrait bien m'aider se serait gentil.
On considère la suite définie, pour n≥1,par Un=n²/2 exposant n
1.a) Etudier lim Un+1/Un quand n tend vers +∞.En déduire qu'il existe un rang n0 tel que si n≥n0, alors Un+1/Un<3/4.Précisez n0.
b) En déduire le sens de variation de (Un).
2.a) Montrer par récurrence que, pour n≥5, Un≤(3/4)exposant n-5.
b) En déduire la limite de la suite (Un).
Merci.Bisous
1)
a)
U(n+1) / U(n) = [(n+1)²/2^(n+1)]/[n²/2^n] = (1/2).[(n+1)/n]²
lim(n->oo) [U(n+1) / U(n)] = 1/2
(1/2).[(n+1)/n]² < 3/4
[(n+1)/n]² < 3/2
(n+1)/n < V(3/2)
n + 1 < V(3/2) . n
1 < n(V(3/2) - 1)
1 < 0,224744871392 n
4,44... < n
et comme n est entier -> n0 = 5
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b)
Un est décroissante à partir de U5
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2)
a)
Supposons U(n) <= (3/4)^(n-5)
n²/2^n <= (3/4)^(n-5)
Multiplions par (n+1)²/2n² (qui est > 0 et donc conservation du sens de l'inéquation).
(n²/2^n).(n+1)²/2n² <= (3/4)^(n-5) * (n+1)²/2n²
(n+1)²/2^(n+1) <= (3/4)^(n-5) * (n+1)²/2n²
(n+1)²/2^(n+1) <= (3/4)^(n-5) * ((n+1)/n)²/2 (1)
Or on a montré que si n >= 5, on avait (1/2).[(n+1)/n]² < 3/4
A fortiori, (1) donne:
(n+1)²/2^(n+1) <= (3/4)^(n-5) * (3/4)
(n+1)²/2^(n+1) <= (3/4)^(n+1 -5)
U(n+1) <= (3/4)^(n+1 -5)
Donc en supposant U(n) <= (3/4)^(n-5), on a montré que U(n+1) <= (3/4)^(n+1 -5)
Donc si l'expression U(n) <= (3/4)^(n-5) est vraie pour une certaine valeur de n, elle est encore vraie pour n+1.
Comme elle est vraie pour n = 5, elle est vraie pour n = 6.
Comme elle est vraie pour n = 6, elle est vraie pour n = 7.
Et ainsi de proche en proche, on a U(n) <= (3/4)^(n-5) pour tout n >= 5 de N
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b)
lim(n->oo) U(n) <= lim(n->oo) (3/4)^(n-5)
lim(n->oo) U(n) <= 0
Mais comme Un est positif pour tout n, on a:
lim(n->oo) U(n) = 0
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Sauf distraction.
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