Bonjour.

Question difficile pour un niveau Terminale je trouve.

Il faut trouver la distance du point t à C, où C est le cercle formé par l'intersection du plan et du solide de révolution.
Au fait, c'est bien un cercle car le solide est construit par révolution autour de l'axe et donc par symétrie on a nécessairement un cercle lorsque l'on coupe perpendiculaire à Oy.

En fait on peut se ramener au plan xOy, et chercher la distance entre t et A, où A est un point obtenu par l'intersection du plan et de la parabole y=4-x² dans le plan xOy. Si on voit bien ce qui se passe, alors il existe deux positions possibles pour A, mais ça n'a pas d'importance car ces positions sont à égales distances de t.

Notons D la distance entre t et A. Dans le repère plan où x est l'abscisse et y l'ordonnée, D vaudrait en fait la valeur absolue de l'abscisse du point A, ou alors l'abscisse du point A simplement si on se place dans les x>0. (à ce moment là, une seule position possible pour A).
C'est donc l'abscisse du point de coordonnées (x,y), où l'on sait que y=4-x², mais on sait aussi que y=t, si l'on fait un dessin on le voit bien.
On résout donc : 4-x²=t, x²=4-t, x=(4-t)
t est compris entre 0 et 4, donc 4-t est positif, d'où la racine qui a un sens.
La valeur absolue de cette abscisse vaut donc (4-t), qui est ainsi le rayon du cercle demandé.
L'aire vaut donc : (4-t)


Le volume est donc, d'après ce qui précède, l'intégrale de 0 à 4 de (4-t)dt