salut

le principe général est de chercher une solution "du même type" ...

ainsi dans le cas de ton exemple on essaiera une solution de la forme où les scalaires a et b sont à déterminer ...

dans le cas d'un polynomes on essaie un polynomes ... par exemple aussi

Est-ce que vous auriez un tableau récapitulatif de tous les cas possibles ?

Bonsoir,
il y a une méthode générale qui s'appelle « variation de constante ».

Dans ton exemple on l'applique comme suit.

Les solutions de l'équation sans second membre y'+y= 0 sont de la forme y=Ke^-x où K est une constante.
On pose alors que K est une fonction de x.

Un calcul facile montre que l'on a alors :
K'(x)e^-x=2sin x
d'où K'(x)=2e^xsin x.
Il reste à trouver une primitive de x2e^xsin x.
Puis à remplacer K par cette primitive dans l'expression Ke^-x.

C'est assez lourd par rapport à la méthode « on sait qu'il y a une solution de la forme xa cos(x)+b sin(x) ».

Désolé, je n'ai pas compris du tout votre méthode @verdurin

effectivement dans le cas d'équations 'simples" il existe la méthode de la variation de la constante ...

tu trouveras tout sur le net ...