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Solution quadratique 2x2
Trouver une matrice qui vérifie l'équation A²-8A-2I = 0, où les coefficients a, b, c, d doivent être des entiers non nuls
le probléme revient à résoudre ce système :
a²+cb-8a-2=0
ba +db-8b=0
ac +dc - 8c=0
cb+d²-8d-2=0
Bonsoir.
A² - 8A - 2I = 0 est le polynôme caractéristique de A.
A admet pour valeurs propres u = 4 + 3 ou v = 4 - 3
On en déduit : tr(A) = u + v = 8 et det(A) = uv = - 2
On est confronté au système :
(II) => d = 8 - a
En reportant dans (I), cela donne :
a² - 8a + bc - 2 = 0
En traitant cette dernière équation comme un polynôme en a :
a = 4 + ou a = 4 -
Limitons nous à des valeurs positives du produit bc. Peu de cas :
1°) bc = 2 => a = 8 => d = 0 : non
2°) bc = 9 => a = 7 ou a = 1 => d = 1 ou d = 7
3°) bc = 14 => a = 6 ou a = 2 => d = 2 ou d = 6
4°) bc = 18 => a = 4 => d = 4
Une recherche sur "matrice compagnon " va te donner le résultat pour n'importe quelle relation polynômiale
Bonjour lolo217.
Peux-tu me donner quelques pistes pour trouver les solutions entières du problème à l'aide de la matrice compagnon ?
Bonjour raymond et tous les autres.
La matrice compagnon du polynôme X2-8X-2 est la matrice
et elle vérifie bien l'équation. Ce n'est sûrement pas la seule, puisqu'on peut la conjuguer par n'importe quel élément de GL(Z), et peut-être qu'il y en a d'autres. ceci étant dit, dans cette matrice il y a un coefficient nul...
Mais, nonn tout compte fait je ne sais pas trop comment les retrouver toutes à partir de la compagnon!
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