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Solutions d une equation polynomiale de degré p

Posté par Diaoul (invité) 28-12-05 à 15:51

Bonjour a tous,
Je ne sais pas comment démarrer (ni finir du coup...) ce problème :

p un entier naturel non nul
P(x) = \sum_{k=0}^p {(-1)^k \(2p+1\\2k+1\) x^{p-k}}

Montrer que les nombres
x_k = cotan^2 ({\frac{k \pi}{2p+1}})
Sont des racines de la fonction polynomiale P

Merci d'avance

Posté par
kaiser Moderateurre : Solutions d une equation polynomiale de degré p 28-12-05 à 22:55

Bonsoir Diaoul

posons S(x)=\sum_{k=0}^{p}\(2p+1\\2k+1\)(i)^{2k+1}x^{(2p+1)-(2k+1)}
et T(x)=\sum_{k=0}^{p}\(2p+1\\2k\)(i)^{2k}x^{(2p+1)-2k}
On remarque que T(x)+S(x)=\sum_{k=0}^{2p+1}\(2p+1\\k\)(i)^{k}x^{(2p+1)-k}=(x+i)^{2p+1} et que T(x)-S(x)=\sum_{k=0}^{2p+1}\(2p+1\\k\)(-1)^{k}(i)^{k}x^{(2p+1)-k}=(x-i)^{2p+1}

on en déduit que S(x)=\frac{1}{2}((x+i)^{2p+1}-(x-i)^{2p+1})

par ailleurs, on a S(x)=i\sum_{k=0}^{p}\(2p+1\\2k+1\)(-1)^{k}x^{(2p+1)-(2k+1)}=i\sum_{k=0}^{p}\(2p+1\\2k+1\)(-1)^{k}x^{2(p-k)}=iP(x^{2})
D'où l'on déduit que P(x^{2})=-iS(x)=\frac{-i}{2}((x+i)^{2p+1}-(x-i)^{2p+1})

Il suffit alors de montrer que S(cotan(\frac{k}{2p+1}))=0.

Kaiser


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