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Solutions de f(x+y) = f(x) + f(y)

Posté par
2RaiKo5 11-12-21 à 20:29

Bonjour tout le monde ! J'ai un exercice pour ma prochaine colle de maths sur lequel je ne comprends pas grand-chose...
Voici l'énoncé : Déterminer l'ensemble des fonctions f continues sur \mathbb{R} telles que \forall (x,y)\in \mathbb{R}^{2}, f(x+y) = f(x) + f(y)
Alors je n'arrive pas les mains dans les poches non plus, j'ai montré que f(0) = 0, que \forall n \in \mathbb{N}, f(n) = nf(1) puis je l'ai montré sur l'ensemble des rationnels \mathbb{Q}. Ceci étant fait, je dois élargir sur \mathbb{R} mais je ne sais pas comment faire... En ce moment on voit la densité des ensembles, est-ce que je peux conclure juste en disant que \mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R} ? J'imagine que je dois utiliser la continuité quelque part ensuite, mais je ne trouve pas où...

Posté par
jarod128re : Solutions de f(x+y) = f(x) + f(y) 11-12-21 à 20:36

Bonjour. Tu as tout bon. Q dense dans ET f continue te permet de conclure sur R. Ensuite il faut répondre à la question.

Posté par
Panurgere : Solutions de f(x+y) = f(x) + f(y) 12-12-21 à 09:24

Bonjour
Tu pourrais. moyennant l' hypothèse supplémentaire : f est C^1, calculer sa dérivée en utilisant la définition de la dérivée d'une fonction.

Posté par
2RaiKo5re : Solutions de f(x+y) = f(x) + f(y) 12-12-21 à 10:41

Merci beaucoup pour vos réponses ! Je ne savais pas si je pouvais directement finir mon analyse...

Posté par
Rintarore : Solutions de f(x+y) = f(x) + f(y) 12-12-21 à 10:47

Bonjour,

Panurge, je ne comprends pas où tu veux en venir ? Il n'y a pas besoin de supposer autre chose que la continuité pour conclure par les arguments données par jarod128 ? Par ailleurs, avec ce qu'a fait 2RaiKo5, on en déduit automatiquement que f est C1, même C infini.

Posté par
Rintarore : Solutions de f(x+y) = f(x) + f(y) 12-12-21 à 10:48

Par ailleurs 2RaiKo5, as-tu réussi à conclure pour étendre ta propriété sur avec les indications de jarod128 ?

Posté par
Panurgere : Solutions de f(x+y) = f(x) + f(y) 12-12-21 à 12:04

Le but est quand même d'identifier f !
Que donne le calcul de f'(x) ?

Posté par
carpediemre : Solutions de f(x+y) = f(x) + f(y) 12-12-21 à 12:08

alut

f est parfaitement définie ici :

2RaiKo5 @ 11-12-2021 à 20:29

j'ai montré que f(0) = 0, que \forall n \in \mathbb{N}, f(n) = nf(1) puis je l'ai montré sur l'ensemble des rationnels \mathbb{Q}. Ceci étant fait, je dois élargir sur \mathbb{R}
ce qui sera fait avec la densité comme il a été dit plus haut ...

d'autre part on connait depuis le collège les fonctions vérifiant cette relation et on démontre ici que ce sont les seules (quand elles sont continues bien sûr) ...

Posté par
Panurgere : Solutions de f(x+y) = f(x) + f(y) 12-12-21 à 13:39

Citation :

f est parfaitement définie ici :
j'ai montré que f(0) = 0, que \forall n \in \mathbb{N}, f(n) = nf(1) uis je l'ai montré sur l'ensemble des rationnels \mathbb{Q}. Ceci étant fait, je dois élargir sur \mathbb{R}
ce qui sera fait avec la densité comme il a été dit plus haut ...
d'autre part on connait depuis le collège les fonctions vérifiant cette relation et on démontre ici que ce sont les seules (quand elles sont continue


Les années collège peuvent être très lointaines et les programmes peuvent avoir beaucoup changé ...
On peut montrer de manière purement calculatoire que f est C^1  (démo à la demande).

D'autre part un calcul élémentaire montre que  pour tout réel x :
f'(x) = \lim_{y\rightarrow 0}\frac{f(x+y)-f(x)}{y} =  \lim_{y\rightarrow 0}\frac{f(y)}{y}= \lim_{y\rightarrow 0}\frac{f(0+y)}{y}= f'(0) = constante
f(x) =ax+b (a,b réels) et comme f(0)=0, f(x) = ...

Posté par
Rintarore : Solutions de f(x+y) = f(x) + f(y) 12-12-21 à 13:44

d'accord avec carpediem

oui Panurge, mais c'est un peu sortir le bazooka pour tuer une mouche, le travail (encore inachevé, on ne sait pas s'il a réussi sur R) de 2RaiKo5 montre que f est linéaire sur R (il faudra qu'il détermine le coefficient, mais il est déjà tout trouvé), on a pas besoin de passer par la dérivée

Posté par
2RaiKo5re : Solutions de f(x+y) = f(x) + f(y) 12-12-21 à 20:18

C'est bon, j'ai réussi à conclure ! Malgré cela, le fait qu'elle est C infini ne sert pas à grand chose je crois...
Bonne soirée


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