bonjour,
juste un petit tour,

(a²+2ab+b²+a+b+1)²
que reconnait-on?

Bonjour,

cette remarque préliminaire est judicieuse et très utile
mais ensuite ??
comment prouver que quel que soit n : (n² + n + 1)² est somme de trois carrés ??? et surtout lesquels en fonction de n ...

surtout que la solution une fois obtenue semble loin d'être "triviale" !!

une méthode :
deviner (= conjecturer) à partir d'exemples numériques quelle pourrait être la forme de cette décomposition
ensuite prouver en développant les deux membres que c'est vrai quel que soit n

pour cela quelques exemples :

n = 1 : (n²+n+1)² = 3² = 9 = 2² + 2² + 1² exprimer 2, 2 et 1 en fonction de n = 1
n = 2 : (n²+n+1)² = 7² = 49 = 6² + 3² + 2² exprimer 6, 3 et 2 en fonction de n = 2
n = 3 : (n²+n+1)² = 13² = 169 = 12² + 5² + 0² = 12² + 4² + 3² "" "" mais laquelle ?
n = 4 : (n²+n+1)² = 21² = 441 = "" "" mais laquelle ?
20² + 5² + 4²
19² + 8² + 4²
16² + 13² + 4²
18² + 9² + 6²
14² + 14² + 7²
16² + 11² + 8²

restons en là, car plus on augmente la valeur de n et plus il y a de décompositions possibles en somme de trois carrés
et il faut "deviner" laquelle semble celle "de forme la plus générale" ...

on remarque toutefois que l'un de ces trois carrés est "souvent" (toujours pour n = 1, 2) de la forme n²
(pour n = 1 l'un des carrés est 1², pour n = 2 l'un des carrés est 2² etc)

et les deux autres ... hum

on remarque aussi que l'un de ces deux autres carrés semble être de la forme (n+1)²
(pour n = 1, l'un des carrés est (1+1)² = 2²
pour n = 2 l'un des carrés est (2+1)² = 3² etc)

pour n = 4 parmi toutes les décompositions en somme de trois carrés possibles, l'une d'elle satisfait à la règle que l'on vient de définir
l'un des trois carrés est bien 4², un autre est bien 5²
et le dernier est alors 20²

on en est donc à la conjecture :

(n² + n + 1)² est toujours de la forme : n² + (n+1)² + c²

reste à conjecturer la "forme" de c en fonction de n qui satisfait à ces exemples

et finalement à le démontrer en développant

sinon partir de (n²+n+1)² et trouver par calcul direct (en marche avant) la décomposition de "ça" en somme de trois carrés est un exercice à mon avis vain si on ne connait pas par avance la solution.
on "voit" bien que l'un des carrés pourrait être n², carré de n dans le développement de ((n²+1)+n)²
ou qu'il pourrait être (n+1)², carré de n+1 dans le développement de (n² + (n+1))²
mais les deux en même temps (un de chaque) ??
et le reste ?? (double produits)
tous les nombres ne sont pas des sommes de deux carrés !
par exemple 19 ne peut pas être somme de deux carrés
donc une fois pris n² ou (n+1)² trouver la décomposition de ce qui reste (un double produit plus un carré) en somme de deux carrés ???
par exemple si on écrit (n²+n+1)² = ((n²+1)+n)² = (n²+1)² + 2n(n²+1) + n²
on a bien notre carré attendu n²
mais décomposer le reste (n²+1)² + 2n(n²+1) en une somme de deux carrés ???
faut être "très fort" et bien polir ses lunettes...

m'enfin maintenant qu'on "sait" le résultat (par la méthode des conjectures précédentes) on peut exhiber un calcul en marche avant qui fera drôlement illusion : "comment diable a-t-il pu penser à ça" ...