Bonjour,
L'enonce :
"Voici un algorithme:
S=0
Pour k variant de n a 5n:
S = S+1/k
fin pour
Exprimer la valeur prise par S en fonction de n a la fin de cet algorithme"
Voila je bloque ici depuis 2 heures, je ne sais pas comment additionner:
1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + .... +1/(5n)
Merci d'avance pour votre aide!
Bonjour,
Une première approche consiste peut-être à coder cet algorithme et à essayer différentes valeurs de n pour voir ce que ça donne ...
Bonjour, S = 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + .... +1/(5n)
est une bonne réponse, tu n'as pas besoin de simplifier cette expression.
Merci pour ta réponse! J'ai pas besoin de le démontrer je pense, je suis en Terminale
Ca tend vers ln(5).
Une autre question si ca te dérange pas: uwu
Soit la suite S_n = 1/n + 1/(n+1) +....+ 1/(5n)
Montrer que pour tout entier naturel n>=1 et k tel que n<=k<=5n , on a 1/k appartient a [0;1[ et
ln(1+1/k)<= 1/k <= -ln(1-1/k). Ca ok s'est fait
Maintenant: En déduire que pour tout entier naturel n>=2 , on a : ln(5+1/n) <= S_n <= In(5n/(n-1))
Merci de nouveau!
Edit Tilk_11> modifie le niveau dans ton profil, merci.
tu as essayé d'écrire les inégalités ln(1+1/k)<= 1/k <= -ln(1-1/k) les unes en dessous des autres k variant de n à 5n puis de les ajouter membre à membre ?
J'ai probablement l'air bête mais je ne comprends pas ce que tu veux dire.. (。_。)
Un truc de ce genre? :
ln(1+1/n)<= 1/n <= -ln(1-1/n)
ln(1+1/n+1)<= 1/(n+1) <= -ln(1-1/n+1)
Ce qui donne : ln[ 1 + (1/(n+1)) + 1/n + 1/(n^2+n) } <= 1/n + 1/(n+1) <= ln [ (1-1/n) / (1-1/(n+1) ]
Voila j'espère que je n'ai pas fait n'importe quoi..
il faut que tu arranges la somme des ln , pour ça utilise ln(1+1/k) = ln ((k+1)/k) ) = ln(1+k)- ln k qui va te créer une somme télescopique (beaucoup de termes vont se simplifier dans la somme)
Wooah! Ca marche:
ln(1+n)-ln(n) + ln(2+n) -ln(n+1) + ln(3+n) - ln(2+n), ( J'initialise avec n allant de 0 a 2 )
= -In(n) + In(3+n)
Ok j'essaye de voir avec 5n termes, je te tiens au courant!
Conjecture:
La somme pour k allant de n a 5n est:
-ln(5) + ln(5n+1) = ln(5n+1) - ln(5) = ln((5n+1)/5) = ln((5n+1))/n)
C'est bien ca!
Je dois le démontrer par récurrence?
non tu as bien démontré que le terme de gauche de l'inégalité était ln(5+1/n) c'était bien ce qu'on te demandait.
non tu fais une démonstration rigoureuse
ln(1+1/n)+ .... + ln(1+1/k) + ...+ ln(1+1/5n) =
[ ln(n+1)-ln(n) ] + [ ln(n+2)-ln(n+1) ] + .... + [ln(k+1)-ln(k) ]+...+ ln(5n+1)- ln(5n) =
ln(5n+1)-ln(n) (tous les autres termes se sont simplifiés)
= ln(5+1/n)
une fois que tu as démontré que : ln(5+1/n) <= S_n <= In(5n/(n-1))
tu fais tendre n vers l'infini et Sn se retrouve coincé entre deux gendarmes qui tendent tout deux vers ln 5
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