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Niveau terminale
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Somme

Posté par
Solay
25-01-21 à 10:52

Bonjour,

L'enonce :
"Voici un algorithme:
S=0
Pour k variant de n a 5n:
                  S = S+1/k
  fin pour

Exprimer la valeur prise par S en fonction de n a la fin de cet algorithme"

Voila je bloque ici depuis 2 heures, je ne sais pas comment additionner:
1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + .... +1/(5n)

Merci d'avance pour votre aide!

Posté par
patrice rabiller
re : Somme 25-01-21 à 11:06

Bonjour,
Une première approche consiste peut-être à coder cet algorithme et à essayer différentes valeurs de n pour voir ce que ça donne ...

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Somme 25-01-21 à 11:12

Bonjour Solay,
peux-tu, s'il te plait, modifier le niveau dans ton profil, merci.

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Somme 25-01-21 à 11:15

Bonjour, S = 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + .... +1/(5n)
est une bonne réponse, tu n'as pas besoin de simplifier cette expression.

Posté par
Solay
re : Somme 25-01-21 à 11:23

Merci pour ta réponse! J'ai pas besoin de le démontrer je pense, je suis en Terminale
Ca tend vers ln(5).
Une autre question si ca te dérange pas: uwu
Soit la suite S_n  = 1/n + 1/(n+1) +....+ 1/(5n)
Montrer que pour tout entier naturel n>=1  et k tel que  n<=k<=5n , on a 1/k appartient a [0;1[  et
ln(1+1/k)<= 1/k <= -ln(1-1/k). Ca ok s'est fait

Maintenant: En déduire que pour tout entier naturel n>=2 , on a : ln(5+1/n) <= S_n <= In(5n/(n-1))

Merci de nouveau!

Edit Tilk_11> modifie le niveau dans ton profil, merci.

Posté par
Solay
re : Somme 25-01-21 à 11:24

Tilk_11 @ 25-01-2021 à 11:12

Bonjour Solay,
peux-tu, s'il te plait, modifier le niveau dans ton profil, merci.
[faq]niveau[/faq]


Ok ca marche donne moi 1 min :]

Posté par
Glapion Moderateur
re : Somme 25-01-21 à 11:30

tu as essayé d'écrire les inégalités ln(1+1/k)<= 1/k <= -ln(1-1/k) les unes en dessous des autres k variant de n à 5n puis de les ajouter membre à membre ?

Posté par
Solay
re : Somme 25-01-21 à 11:42

J'ai probablement l'air bête mais je ne comprends pas ce que tu veux dire.. (。_。)

Un truc de ce genre? :
ln(1+1/n)<= 1/n <= -ln(1-1/n)
ln(1+1/n+1)<= 1/(n+1) <= -ln(1-1/n+1)

Ce qui donne : ln[ 1 + (1/(n+1)) + 1/n + 1/(n^2+n) } <= 1/n + 1/(n+1) <= ln [ (1-1/n) / (1-1/(n+1) ]

Voila j'espère que je n'ai pas fait n'importe quoi..

Posté par
Glapion Moderateur
re : Somme 25-01-21 à 11:50

il faut que tu arranges la somme des ln , pour ça utilise ln(1+1/k) = ln ((k+1)/k) ) = ln(1+k)- ln k qui va te créer une somme télescopique (beaucoup de termes vont se simplifier dans la somme)

Posté par
Solay
re : Somme 25-01-21 à 12:01

Wooah! Ca marche:

ln(1+n)-ln(n) + ln(2+n) -ln(n+1) + ln(3+n) - ln(2+n), ( J'initialise avec n allant de 0 a 2 )

= -In(n) + In(3+n)

Ok j'essaye de voir avec 5n termes, je te tiens au courant!

Posté par
Solay
re : Somme 25-01-21 à 12:22

Conjecture:

La somme pour k allant de n a 5n est:
-ln(5) + ln(5n+1) = ln(5n+1) - ln(5) = ln((5n+1)/5) = ln((5n+1))/n)
C'est bien ca!

Je dois le démontrer par récurrence?

Posté par
Solay
re : Somme 25-01-21 à 12:23

Solay @ 25-01-2021 à 12:22

Conjecture:

La somme pour k allant de n a 5n est:
-ln(5) + ln(5n+1) = ln(5n+1) - ln(5) = ln((5n+1)/5) = ln((5n+1))/n)
C'est bien ca!

Je dois le démontrer par récurrence?


Le dernier c'est ln( 5+ 1/n) :]

Posté par
Glapion Moderateur
re : Somme 25-01-21 à 12:27

non tu as bien démontré que le terme de gauche de l'inégalité était ln(5+1/n) c'était bien ce qu'on te demandait.

Posté par
Solay
re : Somme 25-01-21 à 12:32

Mais c'était seulement une conjecture? A moins que je m'embrouille...

Posté par
Solay
re : Somme 25-01-21 à 12:56

En tout cas merci pour tout Glapion ^-^ !

Posté par
Glapion Moderateur
re : Somme 25-01-21 à 14:01

ou as-tu vu une conjecture ? tu as démontré toutes les étapes, non ?

Posté par
Solay
re : Somme 25-01-21 à 14:12

Solay @ 25-01-2021 à 12:23

Solay @ 25-01-2021 à 12:22

Conjecture:

La somme pour k allant de n a 5n est:
-ln(5) + ln(5n+1) = ln(5n+1) - ln(5) = ln((5n+1)/5) = ln((5n+1))/n)
C'est bien ca!

Je dois le démontrer par récurrence?


Le dernier c'est ln( 5+ 1/n) :]


Ici!
J'ai seulement vu et donc conclu que la somme est égal a -ln(5) + ln(5n+1) a partir de mon initialisation sans jamais le démontrer rigoureusement. C'est pour ca que j'ai propose de le démontrer par récurrence.  Si tu pourrez m'aider sur ce dernier point ca serait génial ! :]

Posté par
Glapion Moderateur
re : Somme 25-01-21 à 14:54

non tu fais une démonstration rigoureuse
ln(1+1/n)+ .... + ln(1+1/k) + ...+ ln(1+1/5n) =
[ ln(n+1)-ln(n) ] + [ ln(n+2)-ln(n+1) ] + .... + [ln(k+1)-ln(k) ]+...+ ln(5n+1)- ln(5n) =
ln(5n+1)-ln(n) (tous les autres termes se sont simplifiés)
= ln(5+1/n)

une fois que tu as démontré que : ln(5+1/n) <= S_n <= In(5n/(n-1))
tu fais tendre n vers l'infini et Sn se retrouve coincé entre deux gendarmes qui tendent tout deux vers ln 5

Posté par
Solay
re : Somme 25-01-21 à 15:17

Ohh ok je vois, tu as même devine que le but de l'exercice est de connaitre la limite de la suite oof.
Merci pour ton temps Glapion!  ^-^



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