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somme bizar

Posté par poi (invité) 18-10-07 à 09:37

bonjour j'ai un exercice qui  demande de calculer une somme (mais je ne sais pas comment m'y prendre) si quelqu'un pourrait maider ce serait sympa MERCI
voici l'énoncé

Soit réel non multiple entier de 2 (pour tout entier k on a different de k2)et N un entier naturel. Calculer de j=o à N de  e^(ij)

Voila MERCI

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : somme bizar 18-10-07 à 09:55

e^(i*j*theta) = cos(j*theta) + i.sin(j*theta)

Somme = 1 + cos(theta) + cos(2.theta) + ... + cos(N.theta) + i.(sin(theta) + sin(2.theta) + ... + sin(N.theta))

Mais est-ce cela que tu voulais ?

Posté par
1 Schumi 1re : somme bizar 18-10-07 à 10:08

Salut,

Soit \rm\large\theta un réel non multiple entier de \rm\large 2\pi et \rm\large i un entier fixé.

On a donc:

\rm\large\Bigsum_{j=0}^{n}e^{ij\theta}=\Bigsum_{j=0}^{n}\(e^{i\theta}\)^j.

On reconnaît la somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique de raison \rm\large e^{i\theta}\neq 1 et de premier terme 1.

D'où \rm\large\Bigsum_{j=0}^{n}e^{ij\theta}=\frac{1-e^{(n+1)i\theta}}{1-e^{i\theta}}.

On utilise la formule de l'angle moitié:

\rm\large\frac{1-e^{(n+1)i\theta}}{1-e^{i\theta}}=\frac{2ie^{\frac{(n+1)i\theta}{2}}sin(\frac{(n+1)i\theta}{2})}{2ie^{\frac{i\theta}{2}} sin( \frac{i\theta}{2}}) = e^{\frac{ni\theta}{2}}\frac{sin(\frac{(n+1)i\theta}{2})}{sin(\frac{i\theta}{2})}.

Bon, tu m'excuseras, mais j'arrive pas à me débarasser de cette flèche dans la dernière expression: fais comme si elle n'était pas là.

Posté par
raymond Correcteursomme bizarre 18-10-07 à 10:15

Bonjour.

3$\textrm\Bigsum_{j=0}^N e^{(ij\theta)} = \Bigsum_{j=0}^N \Big(e^{(i\theta)}\Big)^j

On reconnait la somme des N+1 termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison exp(i)

Comme est distinct de 2k, cette raison est différente de 1. Donc :

3$\textrm\Bigsum_{j=0}^N e^{(ij\theta)} = \fra{1-e^{i(N+1)\theta}}{1-e^{i\theta}}

A plus RR.

Posté par
1 Schumi 1re : somme bizar 18-10-07 à 10:17

Salut raymond.

Légèrement grillé là, non?

Posté par
raymond Correcteurre : somme bizarre 18-10-07 à 10:30

Bonjour 1 Schumi 1.

C'est là que l'on voit ma lenteur à taper le LaTeX !

A plus RR.


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