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Somme coefficients binomiaux

Posté par
ardea 23-07-22 à 23:07

Salut,

J'aimerais un coup de pouce pour comprendre les étapes de ce calcul :

\sum_{i=0}^{k}{C_{n+i-1}^{i}} = 1 + \sum_{i=1}^{k}{(C_{n+i}^{i+1}-C_{n+i}^{i}}) = 1 + C_{n+k}^{k+1} - 1 = C_{n+k}^{k+1}

Je n'arrive pas à voir comment les étapes s'enchaînent.

Merci par avance.

Posté par
Zrunre : Somme coefficients binomiaux 23-07-22 à 23:14

Bonsoir,

Connais-tu la formule du triangle de Pascal ?

Posté par
ardeare : Somme coefficients binomiaux 23-07-22 à 23:21

Salut Zrun

Je ne suis pas sûr mais je pense que c'est :

C_{n+k}^{k+1} = C_{n+k-1}^{k+1} + C_{n+k-1}^{k}

Posté par
jandri Correcteurre : Somme coefficients binomiaux 24-07-22 à 10:16

Bonjour ardea,

le calcul de ton premier post est faux (pour k=0 il donnerait 1=n).

Comme le dit Zrun c'est bien la formule du triangle de Pascal qu'il faut utiliser mais il faut l'écrire sous la forme :

C_{n+i-1}^{i} =C_{n+i-1}^{n-1} = C_{n+i}^{n} - C_{n+i-1}^{n}

Ensuite le télescopage se fait très bien.

Posté par
ardeare : Somme coefficients binomiaux 24-07-22 à 11:40

Bonjour jandri,

J'ai oublié de le préciser mais il est supposé que k \geq 1 et n \geq 1.

J'ai essayé d'utiliser la formule que tu as donné, effectivement le télescopage se fait bien mais je n'arrive pas à retomber sur la dernière égalité  C_{n+k}^{k+1}.

Je précise que c'est dans le cadre d'une démonstration par récurrence.

Posté par
jandri Correcteurre : Somme coefficients binomiaux 24-07-22 à 11:49

C'est normal, le bon résultat est C_{n+k}^{k} et pas C_{n+k}^{k+1}.

Posté par
ardeare : Somme coefficients binomiaux 24-07-22 à 13:09

Effectivement tu as raison, après relecture, il y a une petite erreur dans le corrigé car la récurrence est sur n et non sur k.

Merci beaucoup !


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