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Somme d'une suite

Posté par
Mariusss 19-09-19 à 07:22

Bonjour,
voilà je bloque sur cette question :

Soit la suite un= 1/n-(1/(n+1))

Soit la suite Sn = u1 + u2.... + un

simplifier la suite Sn

Posté par
Pirhore : Somme d'une suite 19-09-19 à 07:29

Bonjour,

calcule quelques termes et tu trouveras par toi même

Posté par
Pirhore : Somme d'une suite 19-09-19 à 07:30

toi-même...

Posté par
Mariusssre : Somme d'une suite 19-09-19 à 07:46

quelques termes de Sn ou de Un ?

Posté par
Pirhore : Somme d'une suite 19-09-19 à 07:53

u_1, u_2,u_3,u_4

et ensuite calcule la somme de ces 4 termes

Posté par
Mariusssre : Somme d'une suite 19-09-19 à 08:03

Donc Sn = 1/2 + (1/6) = 3/2 + (1/12) = 3/4 + (1/20) =4/5

le numérateur devient le dénominateur

Posté par
Pirhore : Somme d'une suite 19-09-19 à 08:12

S\textcolor{red}{_4}=\dfrac{\textcolor{red}{4}}{5}

S_n=...

Posté par
Pirhore : Somme d'une suite 19-09-19 à 08:17

Citation :
le numérateur devient le dénominateur


S_4=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}=...

Posté par
Mariusssre : Somme d'une suite 19-09-19 à 08:24

donc Sn = 1- (n/(n+1))?

Posté par
Pirhore : Somme d'une suite 19-09-19 à 08:34

S_4=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{4\textcolor{red}{+1}}

S_n=\dfrac{...}{....}

Posté par
Mariusssre : Somme d'une suite 19-09-19 à 10:29

donc Sn = 1- (1/n)?

Posté par
Mariusssre : Somme d'une suite 19-09-19 à 10:30

ah non pardon Sn = 1- (1/(n+1))

Posté par
alb12re : Somme d'une suite 19-09-19 à 11:27

salut, oui

Posté par
caritare : Somme d'une suite 19-09-19 à 11:37

bonjour à tous

à mon avis, il y  a plus simple...

Posté par
Mariusssre : Somme d'une suite 19-09-19 à 11:37

OK merci bg

Posté par
Mariusssre : Somme d'une suite 19-09-19 à 11:38

carita comment ça plus simple ?

Posté par
caritare : Somme d'une suite 19-09-19 à 11:39

Pirho @ 19-09-2019 à 08:12

S\textcolor{red}{_4}=\dfrac{\textcolor{red}{4}}{5}

S_n=...

Posté par
Mariusssre : Somme d'une suite 19-09-19 à 11:40

Sn = n/(n+1)?

Posté par
caritare : Somme d'une suite 19-09-19 à 11:40

si tu ne vois toujours pas, réduis ceci :  1- (1/(n+1))
(mets sur déno commun)

Posté par
caritare : Somme d'une suite 19-09-19 à 11:40

bah oui

Posté par
Mariusssre : Somme d'une suite 19-09-19 à 12:33

merci bcp madame

Posté par
caritare : Somme d'une suite 19-09-19 à 12:58

de rien
je n'ai pas fait grand chose !


toutefois, je pense à un truc (on me reprendra si je dis une bêtise):

comment tu as obtenu ce résultat ?

Mariusss @ 19-09-2019 à 10:29

donc Sn = 1- (1/n)?

as-tu obtenu cette expression en utilisant les formules littérales, avec n ?
si c'est le cas, c'est bon, et à mon avis c'est ce qu'il faut faire.

a contrario, si tu as déduit que Sn = n/(n+1) à partir de la seule observation des premiers termes,
il s'agit d'une conjecture, qui resterait donc à démontrer...

Posté par
Mariusssre : Somme d'une suite 19-09-19 à 17:56

bonjour
je comprends que Sn = n/(n+1))
mais je ne comprends pas comment le démonter.
je sais que je peux le démonter par récurrence mais mon prof m'a dit qu'il y avait un méthode plus simple.

Posté par
Mariusssre : Somme d'une suite 19-09-19 à 17:56

bonjour
je comprends que Sn = n/(n+1))
mais je ne comprends pas comment le démonter.
je sais que je peux le démonter par récurrence mais mon prof m'a dit qu'il y avait un méthode plus simple.

Posté par
caritare : Somme d'une suite 19-09-19 à 18:04

tu n'as pas répondu à ma question :

comment as-tu trouvé ceci ? :   Sn = 1- (1/(n+1))     (ton message de 10h30)

selon comment tu as fait, il n'y a pas d'autre démo à faire.

Posté par
Mariusssre : Somme d'une suite 19-09-19 à 18:48

Pirho @ 19-09-2019 à 08:34

S_4=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{4\textcolor{red}{+1}}

S_n=\dfrac{...}{....}


j'ai raisonné grâce à son message

Posté par
caritare : Somme d'une suite 19-09-19 à 18:54

le calcul des premiers termes que t'a proposé Pirho
est très utile pour se donner une idée de ce que l'on doit trouver, ou pour établir une conjecture.

ensuite, tu peux faire ainsi (tu as sans doute déjà vu cette méthode):

U_n   = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}         définition


U_1   = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} \\ \\ U_2  = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \\ \\ U_3   = ....? \\ ... \\ U_{n-1} = ...? \\ \\ U_n   = ...?
______

S_n   = ....?    simplifie la somme, que reste-t-il ?

Posté par
Mariusssre : Somme d'une suite 19-09-19 à 19:00

je ne comprends pas vraiment cette méthode, il faut trouver Un-1 ? donc Un-1 = 1- (1/n)?

Posté par
caritare : Somme d'une suite 19-09-19 à 19:04

il ne faut pas "trouver" Un-1 ,  juste exprimer Un-1 à partir de la définition de U

pour Un, il suffit de recopier la définition !

puis additionne tout ça membre à membre :
- à gauche, on a la somme Sn
- à droite, une somme de termes qui va bien se simplifier...

allez zou, essaie !

Posté par
Mariusssre : Somme d'une suite 19-09-19 à 19:11

ah je comprends je dois donc faire la somme de
       Sn = U1 + U2 + U3 + Un-1 +Un

Posté par
Mariusssre : Somme d'une suite 19-09-19 à 19:14

ah non pardon je dois seulement faire Un-1 + un

Posté par
caritare : Somme d'une suite 19-09-19 à 19:17

Mariusss @ 19-09-2019 à 19:11

ah je comprends je dois donc faire la somme de
       Sn = U1 + U2 + U3 + Un-1 +Un

bah oui !
si tu additionnes la liste des termes que j'ai écrits volontairement en colonne, les uns sous les autres,

ben à gauche du signe =, tu as bien U1 + U2 + U3 + Un-1 +Un, soit Sn

mais ce qui nous intéresse, c'est ce que tu vas trouver à droite  

Posté par
Mariusssre : Somme d'une suite 19-09-19 à 19:25

lorsque j'additionne tout cela, je trouve
     7/4-  (1/(n+1))

Posté par
caritare : Somme d'une suite 19-09-19 à 19:30

euh... le 7/4 provient d'où ??

Posté par
Mariusssre : Somme d'une suite 19-09-19 à 19:32

il vient de l'addition de u1, u2 et u3 avec un-1
  u1 + u2 + u3 = 3/4    

   3/4  +  1- (1/n)

Posté par
caritare : Somme d'une suite 19-09-19 à 19:39

non
tu n'as pas bien observé ce qui se passe

regarde ce que je mets en rouge, et qui s'annule... et il y en a d'autres !

barre tout se qui s'annule sur ton brouillon
il reste quoi ?


\\ U_1   = \dfrac{1}{1}\color{red} - \dfrac{1}{2} \\ \\ U_2  =\color{red}\dfrac{1}{2} \color{black} - \dfrac{1}{3} \\ \\ U_3   = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} \\ ... \\ U_{n-1} = \dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n} \\ \\ U_n   = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} \\ \\ \\ S_n   =   \dfrac{1}{1}\color{red} - \dfrac{1}{2}+  \dfrac{1}{2}\color{black} - \dfrac{1}{3}  + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}+ ...... +  \dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}

Posté par
Mariusssre : Somme d'une suite 19-09-19 à 20:02

il me reste donc 1- (1/4) + (1/n-1)- (1/n+1)

Posté par
Mariusssre : Somme d'une suite 19-09-19 à 20:25

Soit Sn = 3/4 + ( 1/(n-1))- (1/(n+1))

mais je ne sais pas quoi faire ensuite.
J'ai tenté de tout mettre sur le même dénominateur mais ça n'a pas marché

Posté par
caritare : Somme d'une suite 19-09-19 à 20:56

quand même... tu sais que tu dois trouver  1- (1/(n+1))     !

tu as lu mon message?

\\ \\ S_n   =   \dfrac{1}{1}\color{red} - \dfrac{1}{2}+  \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}  + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}+ ...... +  \dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n} \color{black}- \dfrac{1}{n+1}

il reste ..?

Posté par
caritare : Somme d'une suite 19-09-19 à 20:59

si tu ne comprends pas pourquoi j'ai supprimé -1/4 et 1/(n-1) de ta réponse,

refais cette somme, comme je l'ai présentée, pour n = 5

Posté par
Mariusssre : Somme d'une suite 19-09-19 à 21:05

merci beaucoup j'ai enfin compris madame vous m'avez sauvé je vous en remercie <3

Posté par
caritare : Somme d'une suite 19-09-19 à 21:12

avec plaisir

mais je te conseille de refaire l'exo dans quelques temps,
voir si tu as bien compris la méthode, c'est un classique.

bonne soirée !

Posté par
Mariusssre : Somme d'une suite 19-09-19 à 21:15

Oui je suis désolé si je n'ai pas compris je suis un peu bête mais je vous aime merci de m'zvoir zider je vous souhaite une longue vie


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