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Somme d'une suite avec fonction logarithme
Bonjour, j'aimerais d'abord préciser que c'est mon tout premier post, donc si je ne respecte pas certaines règles ou que je n'ai pas encore certaines bonnes habitudes, j'en suis sincèrement désolé.
Je possède une fonction (Vn) définie par Vn= ln( n/(n+1) )
a) Montrer que V1+ V2+ V3= -ln4
Rien de compliqué, j'ai réussi à montrer l'égalité en utilisant le fait que la somme de logarithmes soit égale au logarithme du produit.
b) Soit Sn= V1 + V2 + ... + Vn, où n > 0. Exprimer Sn en fonction de n. Déterminer la limite de (Sn) lorsque n tend vers +oo.
J'arrive à déterminer la somme de n/(n+1) en faisant la somme des quotients d'une suite de premier terme 1 et de raison 1 divisé par une suite de premier terme 2 et de raison 1, seulement le ln me gène. J'imagine qu'il faut donc utiliser la règle de la question a), et calculer Sn= ln( (1/(1+1)) * (2/(2+1)) * ... * (n/(n+1)) ).
Seulement, suis-je censé savoir calculer le produit des termes d'une suite ? Parce que je n'ai aucune formule en tête et je ne vois pas comment en trouver une. Je suis donc bloqué ici, merci d'avoir pris le temps de lire mon problème.
Déjà merci pour ta réponse très rapide, c'est très sympa.
Sinon, j'aurais bien simplifié pour obtenir Sn = ln( n!/(n+1)! )
Je ne sais pas si c'est ça que tu entends par simplifications en cascade. Par contre, je ne suis pas forcément habitué à avoir des factorielles dans mes exercices donc je ne sais pas si c'est valable de simplifier comme je l'ai fait.
Pour ta réponse pgeod, elle est vraie et je l'avais remarqué mais je n'ai aucune idée pour prouver ce résultat en fait.
ben simplifie ton produit de fractions au lieu de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux
sinon, avec les factorielles, il faut absolument garder en mémoire que
(n+1)!=1*2*3*.....(n)*(n+1)=n! *(n+1)
....
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