salut

parce que ce n'est pas si évident que ça !!

on peut traduire en mathématique : on cherche un entier n tel que :



mais ensuite

on peut éventuellement ensuite travailler modulo 3 (en considérant les restes de la division euclidienne par 3) ou modulo 5 pour obtenir des propriétés sur tous ces entiers ...

Bonsoir,

n=a²+b²+c²
n=x²+y²+z²

2n=a²+b²+c²+x²+y²+z²

donc n est pair  

les carrées sont 1,4,9,16,25,36,42,64,81

n=4+16+42
n=1+25+36

Bonsoir
"donc n est pair" ah bon ?
contre exemple :
69 = 8² + 2² + 1² = 7² + 4² + 2²

sans parler de ceux (plus petits) pour lesquels les carrés ne sont pas différents :
27 = 5² + 1² + 1² = 3² + 3² + 3²
etc

je ne vois pas trop de méthode "raisonnable" (à ce niveau) autre que la force brute.

et puis 42 n'est pas un carré ...
62 = 1² + 5² + 6² = 2² + 3² + 7² (4 + 9 + 49)

pour un aperçu de résultats théoriques on pourra se reporter à wikipedia
ou à leur sources citées.
la difficulté est surtout le "non nuls et différents" pour lequel il n'y a pas grand choses dans la théorie.

oups , vous avez raison mathafou, j'ai été trop vite.

Je m'excuse pour cette réponse tardive, mais je crois bien avoir trouver une solution, différente de mathafou.

Considérons un tel entier n et ses 2 sommes différentes  : n = a²+b²+c²=x²+y²+z².
Supposons qu'un même carré apparaisse dans les 2 sommes, disons a=x. On a alors b²+c²=y²+z² ce qui entraine b=y et c= z (ou inverse) dans  les plus petites valeurs 1,4,9,16,25,36,49 puisqu'on cherche un n minimal, qui est impossible.

Finalement aucun carré n'est commun au 2 sommes, ce qui nous permet de réduire nos valeurs à tester et trouver que le plus petit n est 62.
Le tour 1 de la coupe Animath ne demande que les réponses et aucune justification, c'est donc parfois les testes qui sont les plus efficaces.

Pour le cas général de b²+c²=y²+z² entraine b=y et c= z, on a le contre exemple 121+9=81+49=130

pour les nombres de la forme a² + b² + c² = a² + x²+y²
la plus petite solution de a²+b² = x²+y² est 25 = 0² + 5² = 3² + 4² rejeté car un des carrés est nul
vient ensuite 50 = 1² + 7² = 5²+5² rejeté aussi car deux carrés égaux
puis le suivant est 5*13 = 65 =1² + 8² = 4²+7²
si on ajoute le plus petit carré différent de ceux là, qui est 2²
on obtient
69 = 1² + 2² + 8² = 2² + 4² + 7²
ce sera le plus petit avec un carré commun

il n'y a aucun test de force brute pour déterminer ces cas là,
juste l'application de résultats dus à Fermat sur le nombre de décomposition de n en somme de deux carrés :
pour qu'un nombre soit somme de deux carrés d'au moins deux façons différentes, il faut et il suffit que sa décomposition en facteurs premiers contienne au moins deux facteurs premiers de la forme 4k+1 (5, 13, 17, 29 ...)

le plus petit tout court (la solution 62) aura donc ses 6 carrés tous différents.