Salut !


et bien c'est un peu de la théorie de Galois, mais ca donne un moyen algorithmique :


tu regarde Q[a,b] comme un sur corps de Q de dmension finit.

la multiplication par (a+b) définit une application linéaire sur Q[a,b] tu peut ecrire ca matrice et chercher son polynome minimal (ou caractéristique) c'est un polynome minimal (ou just anulateur) de (a+b).

sinon tu peut aussi calculer les puissance succesive de (a+b) jusqu'a avoir un systeme lié...

Qi  P  est le polynôme minimal de  a  tu peux regarder  le produit des
P(X + x)  quand  x  parcourt les racines de  Q le polynôme minimal de  b.
C'est un multiple du polynôme minimal de  a + b . (sauf erreur) tu peux utiliser le résultant pour prouver ça.

lolo217 -> Les racines de Q ne sont pas forcément rationnelles. Est-ce que le produit des P(X+x) où x parcourt Q sera alors quand même à coefficients rationnels?

Ksilver -> Merci Je vais voir si j'arrive à quelque chose avec ça.

Fractal

oui en fait faut prendre un résultant ...je sais plus lequel..c'est le déterminant d'une matrice dont les coefficients sont liés à ceux de P et Q

Fractal : parceque le produit des P(X-x) quand par cours les racines de Q est une fonction symétrique en les racines de Q donc un polynome en les coeficient de Q et donc a coeficient rationelle.

si tu veux une solution "pratique"/explicite ce polynome est égal a det(P(X.Id-M)) ou M est la matrice compagnon du polynome Q.

ou encore plus simple c'est le résultant (selon le X) des polynomes Q et P(Y-X)

en effet si ce résultant est nul ce la signifi qu'il existe a telle que Q(a)=0 et P(Y-a)=0, donc y=a+b avec a racine de Q et b racine de P

donc l'ensemble des racines de ce résultant sont tous les ai+bj ou ai sont les raicnes de P et bj sont les racines de Q

Bonsoir

Voici un exemple :

Supposons que
P(a) = a² - a - 1 = 0     (*)
et
Q(b) = b³ - 2b - 5 = 0    (**)

On cherche un polynôme ayant pour racines X = a + b.

En utilisant (*) et (**) on obtient :

X.1   = a + b
X.a   = a² + ab = 1 + a + ab
X.b   = ab + b²
X.b²  = ab² + b³ = ab² + 2b +5
X.ab  = a²b + ab² = (a+1)b + ab² = b + ab + ab²
X.ab² = a²b² + ab³ =(a+1)b² + a(2b+5) =5a + b² + 2ab + ab²

D'où
-X.1 +            a   +  b                                                          = 0
    1 +    (1-X)a                                  + ab                          = 0
                          - Xb        +  b²         + ab                          = 0
5.1                    + 2b        - Xb²                              +  ab²  = 0
                              b                  + (1-X)ab              + ab²  = 0
                   5a                  +  b²       + 2ab      + (1-X)ab²  = 0


Par conséquent, 1, a, b, b², ab, ab² sont solutions de ce système
linéaire homogène, dont le déterminant doit être nul.
D'où le polynôme cherché (sauf erreur):

|-X    1    1   0   0     0  |
| 1   1-X  0   0   1    0   |
| 0    0   -X   1   1     0  |
| 5    0    2  -X   0     1  | = 0
| 0    0    1   0  1-X   1  |
| 0    5    0   1   2   1-X |

C'est-à-dire :
36 - 30X + 13X² + 3X³ - 4X⁴ - 3X⁵ + X⁶ = 0

Cordialement
Frenicle

Merci beaucoup

Fractal