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somme de quotient > 1/2
bonjours,
c'est le dernier dm de l'année, j'ai finie les questions les plus compliquées mais je butte sur celle ci qui d'après notre prof de maths nécessite une niveau de connaissance de première S:
démontrer que pour tout k€N*
( (1/(1+k))+(1/(2+k))+...+(1/(k+k)) ) > (1/2)
exemple :
1/3 + 1/4 > 1/2
Merci d'avance pour vos idées de démonstrations!
Salut kharak !
Si on regarde l'expression :
1/(1+k)+1/(2+k)+...+1/(k+k)
¤ il y a combien de termes ?
¤ quel est le plus petit ?
¤ que peut-on en déduire ?
j'avais pris l'écriture 1/(2k) pour le dernier terme et je me doutais qu'il y avait quelque chose là dessous :p
mais j'était parti dans beaucoup plus complexe, sans même penser à compter le nombre de termes et à prendre au pied de la lettre le strictement "supérieur à"
Merci beaucoup pour cette aide rapide et suffisante ^^.
tu as aussi le Dm à rendre ou tu es juste doté d'une grande curiosité? :p
enfaite il n'est pas nécessaire de montrer que ( (1/(1+k))+(1/(2+k))+...+(1/(k+k)) ) > (1/2)
on peut passer par un nombre plus petit que ( (1/(1+k))+(1/(2+k))+...+(1/(k+k)) ) mais qui est supérieur à 1/2
on sais que (1/(1+k))>(1/(2+k))>...>(1/(k+k)). Il y a k termes et on peut aussi écrire 1/(k+k), 1/(2k).
on a donc ( (1/(1+k))+(1/(2+k))+...+(1/(k+k)) ) > K*(1/(2k))
et après simplification, la solution est évidente.
je ne suis pas un très bon prof :p
en gros on sait que ( (1/(1+k))+(1/(2+k))+...+(1/(k+k)) ) est une suite qui a pour plus petit terme 1/(k+k) qui est aussi égale à 1/2k
comme on a 1/1+k > 1/2+k > .. > 1/2k
on peut dire que (1/(1+k))>(1/(2+k))>...>(1/(k+k)) > k*(1/2k)
avec k le nombre de terme de la suite.
et après simplification on a bien :
(1/(1+k))>(1/(2+k))>...>(1/(k+k)) > 1/2
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