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somme de ss-ev et inclusion
bonjour,
J'ai du mal avec une partie de mon cours.
Soient F1, F2,F3 des ss-ev de E, on a:
1) F1
F1+F2
2) F1F3 , F2F3 équivaut à (F1+ F2) F3
Comment est-ce qu'on peut voir ça?
Salut!
Tu veux justevle "voir", ou alors les demonstrations???
pour "voir":
F1 une droite, F2 une autre droite. F1 + F2 estalors un plan. F1 inclus dans ce plan...
F1 une droite, F2 aussi, F3 un plan qui contient ces deux droites. Alors le plan forme par les droites est inclus dans le plan F3 (il lui est egal, d'accord. mais ce n'est qu'une maniere de voir... Prendre F3 egal a l'espace entier...).
Tu veux les demos?
C'est facile. Ce ne sont que des inclusions...
A+
biondo
J'adore:
J'ai l'impression que ce que je n'ai pas fait n'est pas super clair...
Bon bah je vais reprendre, ce sera plus clair .
est un sev de E donc
.
Soit quelconque.
Alors .
Or .
Donc .
Donc u est la somme d'un élément de et d'un élément de
.
Donc ,
.
Donc .
Voilà
biondo...
J'aurais dû me relire avant de poster.
Au passage, les O dans mon dernier post sont en fait des zéros.
J'ai encrore fait une erreur d'inattention.
Je voulais dire :
Donc u est la somme d'un élément de et d'un élément de
. (c'est mieux comme ça)
Merci 
Mais tu n'aimes pas la deuxième version ? 
En ce qui concerne la deuxième propriété, démontre-la moi que je vois si tu as compris .
à+
@Biondo
J'ai du mal avec la représentation que tu me proposes. Je ne comprends pas comment un ss-ev peut être représenté par une droite. Si un espace vectoriel (et donc un ss-ev) est un ensemble non vide ...
Si je me place dans IR^2 (le plan cartésien, est-ce que c'est comme ça qu'on dit?).
Un point A(x,y) peut très bien être un vecteur u(x,y) allant de 0 à A. L'ensemble des coordonnées des points qui composent une droite peut représenter l'ensemble des vecteurs allant de 0 à ces points. Et ça marche pour n'importe quel nombre de dimension.
Ah bein oui ça fonctionne il me semble.
Est-ce que c'est comme ça que je peux me représenter un ss-ev?
@ cinnamon
Bein j'ai mieux compris avec la première finalement. Mais c'est peut-être parce que j'ai commencé par la deuxième.
En ce qui concerne la deuxième propriété, démontre-la moi que je vois si tu as compris
Je m'y mets.
@Biondo
Tu veux justevle "voir", ou alors les demonstrations??
Les deux, tu dois commencer à me connaître non ?
Par contre Biondo, je me ramène à la définition d'une somme de ss-ev.
F+G= {u 
E | 
xF,y G, u= x+y }
Il me semble que l'on peut encore se représenter F+G comme une droite. Qu'est ce qui justifie qu'on représente une somme de ss-ev par un plan?
Je peux répondre moi aussi ? 
En fait si F et G sont des droites, elles sont générées par un seul vecteur. Et tu sais que pour générer un plan, tu as besoin de deux vecteurs non colinéaires. Donc F+G est bien un plan.
attention : ""Si je me place dans IR^2 (le plan cartésien, est-ce que c'est comme ça qu'on dit?).
Un point A(x,y) peut très bien être un vecteur u(x,y) allant de 0 à A. ""
a) un point c'est...un point et jamais un vecteur !
b) un vecteur n'est pas un truc qui va de 0 à A : ça c'est UN dessin du vecteur , u(x,y) peut effectivement être REPRESENTE par un truc avec une flèche qui va de 0 à A(x,y) mais aussi PAR exemple par un truc de B(-x,-y) à 0 ou encore de C(2x,2y) à
D(3x,3y) ça fait 3 "trucs" différents mais c'est toujours le même vecteur.(n'importe que tranlaté convient)
lolo
J'essaie de démontrer la deuxième propriété.
Je commence par la réciproque.
Soit uF1, OF2 F2 (car F2 ss-ev)
u+ 0F2 F3 (en partant de l'hypothése de départ)
u F3 F1 F3
On fait pareil pour F2.
Je me penche sur l'autre sens.
a) un point c'est...un point et jamais un vecteur !
b) un vecteur n'est pas un truc qui va de 0 à A : ça c'est UN dessin du vecteur , u(x,y) peut effectivement être REPRESENTE par un truc avec une flèche qui va de 0 à A(x,y) mais aussi PAR exemple par un truc de B(-x,-y) à 0 ou encore de C(2x,2y) à
D(3x,3y) ça fait 3 "trucs" différents mais c'est toujours le même vecteur.(n'importe que tranlaté convient)
Oui désolé pour le manque de rigueur mathématiques. Je l'entendais bien comme ça.
Merci cinnamon, c'est plus clair comme ça. Je vais finir par arriver à me représenter tout ça à force.
hum peux-tu m'aider à nouveau pour démontrer la deuxième propriété, cinnamon, il me semble que ce que j'ai écrit est faux.
Je ne suis pas d'accord avec ta démo...
Tu montres que si
alors
...
Il faut que tu montres que si avec
et
quelconques (pas forcément nuls), alors
et
.
Posts croisés...
Je vais d'abord montrer la première implication.
Soient et
.
est un sev dont
est stable par addition.
Donc .
La réciproque suit.
Pfff, ça paraît simple quand je le vois écrit. Mais vu que je ne suis à l'aise ni avec les notions d'ev ni avec les notions d'inclusion, d'intersection, d'union et autres, je ne sais jamais ce que je dois (ou ce que je peux) utiliser comme propriété.
En fait ça n'est pas aussi simple que ça paraît...
Pour la réciproque, je n'ai rien trouvé de mieux que de raisonner par contraposée :
Si ou
, alors
.
Je reposterai si je trouve mieux...ou peut-être qu'un autre mathîlien pourra t'aider.
Je demanderai demain à mon prof. Le 4) me gêne aussi finalement. J'arrive à le "voir" en passant par le plan. Mais je ne sais pas trop comment le démontrer.
F1 inclus dans F2 implique F1+ F3 inclus dans F2 + F3
Re,
"Le 4) me gêne aussi finalement"
Quelle est la question 3) ?
En ce qui concerne la réciproque de la 2), j'ai fini par trouver...
C'est tout simple mais il fallait y penser.
Supposons .
Or d'après 1), donc
.
De même pour .
>letonio
Dsl j'etais de sortie ce Dimanche apres-midi... Je lis le fil juste maintenant.
Tu disais avoir du mal a voir comment on represente un sev par une droite (je laisse le reste, apparemment tu as compris .. (?)).
ben... disons, dans un espace a dimension 3, un droite (passant par l'origine d'un eventuel repere, pour ceux que ca rassure), est bien un sev. C'est stable par addition (deux vecteurs de la droite sont colineaires, si je les ajoute, ca reste "parallele" a la droite), et stable par dilatation (si je multiplie un vecteur de la droite par un scalaire, c'est encore un vecteur "parallele" a la droite..).
Au cas ou tu n'aurais pas eu le declic...
Ensuite tu mentionnes que F1+F2 est encore une droite... Alors... Oui et non. Disons que si F1 et F2 sont paralleles (confondues en fait, si on considere qu'elles passent par l'origine), tu as raison, c'est encore une droite. En revanche, dans le cas general ou F1 et F2 ne sont pas paralleles, le sev engendre est un plan (fais un dessin, tu verras que n'importe auel vecteur du plan peut etre decompose suivant les vecteurs directeurs de F1 et F2 - ce qui prouve que c'en est une combinaison lineaire)...
Mais tu as sans doute compris depuis cet apres-midi..
A+
biondo
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