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Somme des indicateurs d'Euler des diviseurs d'un nombre
Bonjour,
J'ai rencontré cet exercice dans un livre d'arithmétique de terminale mais je n'arrive pas à en venir à bout:
On suppose que le nombre de diviseurs d'un entier naturel n est k.
On note {di}i=1,2,...,k l'ensemble des diviseurs de n avec d1 = 1 et dk=n.
Montrer que la somme des indicateurs d'Euler des diviseurs de n est égale à n.
J'ai d'abord pensé à me servir des résultats que j'ai démontrés dans les questions précédentes, qui sont :
- en notant a
* b 
* ... * z 
la décomposition en facteurs premiers de n et S la somme des diviseurs naturels de n :
S =
- et, en notant la quantité d'entiers inférieurs ou égaux à n et premiers avec n (indicateur d'Euler) :
= a
- 1 * b -1 * ... * z -1 * ( a - 1 )*( b - 1 )* ... * ( z - 1 )
Malgré le nombre de pistes que j'ai explorées, cela ne me mène nulle part.
Merci de bien vouloir m'aider, surtout que je trouve cette identité parfaitement curieuse et remarquable !
Bonjour 
Il y a plusieurs façons de procéder. En voici une.
Tu as calculé la somme S des diviseurs de n en remarquant (je suppose) que dans le produit
(1 + a + ... + a)(1 + b + ... + b)...(1 + z + ... + z)
chacun des diviseurs de n apparaît une et une seule fois.
Si tu considères maintenant le produit :
(
(1) + (a) + ... + (a))((1) + (b) + ... + (b))...((1) + (z) + ... + (z))
tu constates, de même, que (d) y figure une seule fois pour chaque diviseur d de n.
(Il faut utiliser le fait que (uv) = (u)(v) si u et v sont premiers entre eux.)
Maintenant, la première parenthèse vaut
1 + (a - 1) + a(a - 1) + a - 1(a - 1),
c'est-à-dire a comme tu le vérifieras facilement.
La conclusion en découle.
Cordialement
Frenicle
Autre manière de procéder :
Soit k un entier compris entre 1 et n. PGCD(k,n) est évidemment un diviseur de n.
Réciproquement, soit d un diviseur de n.
Combien y a-t-il d'entiers k compris entre 1 et n tels que PGCD(k,n) = d ?
Autant que d'entiers compris entre 1 et n/d et premiers avec n/d, c'est-à-dire (n/d).
Les n entiers compris entre 1 et n peuvent donc être répartis en sous-ensemble disjoints selon la valeur de leur PGCD avec n :
Il y en a
(n/1) tels que ce PGCD vaut 1
(n/d) tels que ce PGCD vaut d
(n/d') tels que ce PGCD vaut d'
...
(n/n) tels que ce PGCD vaut n
Donc n = 
(n/d), d parcourant l'ensemble des diviseurs de n.
Mais (n/d) = (d), car quand d parcourt l'ensemble des diviseurs de n, n/d en fait autant, dans un autre ordre.
QED
Attention, dans le post précédent, je n'ai pas repris les notations de ton énoncé (je n'y avais pas fait attention) : k n'est pas le nombre de diviseurs de n et je n'ai pas noté d1, d2, ..., dk les diviseurs de n.
Je les ai notés, de façon plus vague, 1, d, d', ..., n, et k représente un entier quelconque compris entre 1 et n.
Merci beaucoup pour vos deux démonstrations!
Quant à moi, je préfère la seconde parce que je suis parvenue au bout de quelques 2 heures de pistes abandonnées par utiliser la même idée que la votre en utilisant un partitionnement d'ensembles.
J'ai construit tous les ensembles Di des diviseurs de n se décomposant en i facteurs premiers, puis j'ai calculé chacune des sommes des indicateurs de Di (ce qui est beaucoup plus simple, puisque chaque Di ne contient que des nombres se décomposant selon le même nombre de facteur premier) avant de les sommer.
Au final, j'obtiens une très longue somme qui, une fois factorisée, donne la décomposition en facteurs premiers de n.
Par contre, c'est très long et moins élégant que vos démonstrations.
Y-a-t-il des applications à ce résultat que je trouve vraiment curieux?
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