Bonjour Justin

Dans ton cours, tu n'aurais pas un truc qui s'appelle "relations coefficients-racines" ?

Kaiser

Non, je suis en terminale, je n'ai pas encore vu ça.

Enfin, pour un polynôme du second degré ça se trouve facilement, pour le troisième degré c'est plus difficile mais toujours faisable...

Peux-tu me faire un petit récapitulatif des connaissances pour ce problème STP?

Ah OK, autant pour moi !
Si est un polynôme de degré n, notons ses racines (enventuellement complexes).

Alors, on sait que l'on a aussi

Jusque là, tu me suis ?

Kaiser

Je pense que tu voulais dire non? Jusque là je te suis parfaitement.

ah, ben tu as dû le corriger entre temps

Essayons d'exprimer le coefficient de degré n-1 de P en fonction de ses racines.

Pour obtenir un terme de degré n-1, lorsque l'on effectue le produit , il faut prendre multiplier n-1 fois X par pour i variant entre 1 et n
On voit alors qu'il y a n termes possibles de ce genre et que le terme d'ordre n-1 vaut

Ensuite, en identifiant avce la première écriture de P, on a que :



D'où

Est-ce compréhensible ?

Kaiser

C'est compréhensible (après plusieurs lectures).

Le seul hic c'est que je ne comprends pas ton expression pour le terme d'ordre n-1 (sinon j'ai tout compris).

C'est moi qui doit rougir, c'est très bien expliqué!

Oui, c'est ça. Comment tu le trouves?

On doit effectuer le produit

Pour développer cette expression, pour chaque parenthèse, on choisit entre X et pour k variant entre 1 et n et on fait le produit des termes choisis.
Pour obtenir un terme de degré n-1, il faut choisir n-1 fois X et donc une seule fois pour un k.

Ainsi, on obtiendra un terme du type

et ce pour tout k entre 1 et n.
Finalement, le monôme de degré n-1 sera

Bien sûr, il ne faut pas oublier le coefficient qui était en facteur.

Finalement, le monôme de degré n-1 est

D'où le coeffcient de degré n-1 est

est-ce un peu plus clair ?

Kaiser

Beaucoup plus clair!! (Une lecture rapide)

Je vais manger, A+

OK !

De retour (j'ai mangé vite fait et je vais me coucher sur le champ)

Je calcule donc le coefficient de x^2001 : c'est 0.
Le coefficient de x^2000 : c'est 2001/2.
Pour le coefficient de x^1999 il faut utiliser le binôme de Newton? Je verais ça demain.

P.S. Si tu aimes un peu la langue française (et c'est une occasion pour moi de te rendre quelque chose en échange) "autant pour moi" s'écrit en fait "au temps pour moi".

Etymologie: Dans l'armée (de l'ancien temps), quand quelqu'un faisait une erreur il fallait qu'il revienne "au temps". Quand c'était le capitaine qui faisait une erreur il disait donc "au temps pour moi".

A confirmer.

Je confirme

Salut à vous deux

Salut Kévin

Justin> Je suis assez surpris en me relisant car j'ai pourtant l'habitude d'écrire "au temps pour moi" au lieu de "autant pour moi".
Sinon pour revenir à ton problème, Il faut bien utiliser le binôme de Newton.

Kaiser

Salut !

juste une précision, parceque c'est pas tres claire : par cette methode ce que tu calcule, c'est la somme des racines complexe du polynome (il y en a donc 2000 ... ) pas juste les racines réel !