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Somme Directe
Bonjour, je bloque dans cet exo:
Soient l'espace vectoriel des polynômes en
à coefficients complexes de degré strictement inférieur à
,
et
deux polynômes de degrés
et
,
et
, n'admettant pas de racine commune.
Soient l'ensemble des polynômes de la forme
,
et
l'ensemble des polynômes de la forme
,
.
Montrer que est somme directe de
,
. En déduire qu'il existe un couple unique de polynômes
et
tels que
.
Je ne vois pas comment montrer que tout vecteur de peut sécrire comme somme d'un vecteur de
et d'un vecteur de
.
Merci pour votre aide. 
Je pense que le but de cet exercice est justement de montrer l'identité de Bézout dans l'anneau des polynômes, puisque c'est justement le résultat final demandé.
Pour montrer que , il est plus simple de montrer que
et de raisonner sur les dimensions. Montrer que
peut se faire en prenant un élément de
que l'on écrit à la fois comme
et
et en regardant la valeur en les racines de
. Petite difficulté : le cas où
a des racines multiples. La suite s'en déduit facilement.
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