salut

avoue qu'il est tout de même difficile de résoudre un exercice sans savoir de quoi l'on cause

pour faire des math à peu près sérieusement il faut tout de même un minimum de connaissance, définition, théorème, ...

Salut ! En effet c'est ma faute, j'avais pas regardé attentivement mon cours, il y avait un paragraphe dessus. Je dois donc vérifier que l'intersection du noyau et de l'image se réduit au vecteur nul.
Soit x appartenant à cette intersection. Donc Ax= 0 et il existe y vecteur tel que Ax= y. J'aimerai donc conclure que x = 0 mais j'arrive à y = 0 pas vraiment ce que je cherche. Pour l'aspect orthogonal, je prend 2 vecteurs x,y dans le noyau et l'image et je vérifie que leur produit scalaire est nul.

c'est plutôt Ax = 0 car x dans Ker A et Ay = x car x dans Im A

Oui plutôt pardon. Par contre je ne vois pas quel argument utiliser ensuite pour conclure sur x est nul. Je peux remplacer x par Ay et donc j'ai mais je n'utilise pas l'hypothèse de symétrie et j'en ai sûrement besoin pour conclure.

Bonjour,

je crois qu'il est plus judicieux d'utiliser la formule du produit scalaire suivante



où x et y sont des vecteurs colonnes.

Bonne journée

Bonjour Rintaro merci pour la précision. Ce produit scalaire m'est utile pour l'aspect orthogonaux seulement ? Je ne peux rien faire avec pour l'aspect somme directe ?

Bonjour,

ma réponse ne s'est malheureusement pas envoyée. Je te laisse vérifier que si, par exemple, E est un espace euclidien avec F et G des sous-espaces vectoriels, en supposant que G est inclus dans l'orthogonal de F alors F et G sont en somme direct.

De là, tu peux t'inspirer de cette proposition pour démontrer ce que tu veux en faisant d'une pierre deux coups.