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somme entiers consécutifs un terme en moins

Posté par
kadile
07-05-21 à 11:44

Bonjour,
Je viens de découvrir, sur internet,  comment peut-on gagner des opérations dans la somme d'entiers consécutifs en continuant avec un terme en moins:
9 +10 +11 +12= 13 +14 +15 = 42. On a bien simplifié le calcul puisque l'on est passé de 3   additions à 2 additions.
Mais si on continue : 16+17=33 ça ne marche pas.

9 +10 +11 +12+13+14+15=84
16+17+18+19+20+21=111 ça ne marche pas.

1+2+3+4=10
5+6+7=18 ça ne marche pas.

Donc il y a des conditions mais les quelles ?

Merci d'avance.

* modération > le niveau a été modifié  en fonction du profil renseigné *

Posté par
breuil
re : somme entiers consécutifs un terme en moins 07-05-21 à 12:52

Bonjour
Il s'agit de sommes de suites arithmétiques de raison 1.
On applique la formule.
Si on appelle a le premier terme (9 dans l'ex 1), et p le nb de termes -1 (3 dans l'ex 1).
On trouve après calcul que ça marche si a = p².
Il y a peur être plus simple??

Posté par
flight
re : somme entiers consécutifs un terme en moins 07-05-21 à 15:27

Salut
A gauche si ta somme va de j à p et à droite de p+1 à  2p-j, alors la condition à réaliser est que j(2p+1)=j2+p2

Posté par
flight
re : somme entiers consécutifs un terme en moins 07-05-21 à 15:28

Pour ton exemple p=12 et j=9.

Posté par
flight
re : somme entiers consécutifs un terme en moins 07-05-21 à 15:32

On peut même simplifier l expression précédente en écrivant qu il faut que
(j-p) 2=j

Posté par
flight
re : somme entiers consécutifs un terme en moins 07-05-21 à 15:38

... Donc j doit être un carré parfait..

Posté par
flight
re : somme entiers consécutifs un terme en moins 07-05-21 à 15:41

Par exemple :
25+26+27+28+29+30=31+32+33+34+35

Posté par
flight
re : somme entiers consécutifs un terme en moins 07-05-21 à 15:42

La somme est identique et je passe bien de 5 additions à 4 additions

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme entiers consécutifs un terme en moins 07-05-21 à 16:20

Bonjour,
En notant \; a \; le premier terme et \; p \; le nombre de termes au départ, la relation devient \; a = (p-1)2 .
Le premier terme a doit donc être un carré : a = b2
Forme générale :
b2+ (b2+1) + (b2+2) + ... + (b2+b) \; = \; (b2+b+1) + (b2+b+2) + ... + (b2+b+b)
Avec \; b+1 \; termes à gauche et \; b \; termes à droite

Posté par
kadile
re : somme entiers consécutifs un terme en moins 07-05-21 à 18:52

Finalement si la suite commence par un carré, on gagne une opération.
Si le dernier terme+1=un carré on ne gagne rien.

25+26+27+28+29+30+31+32+33+34+35=330
36+37+38+39+40+41+42+43+44+45 =405

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme entiers consécutifs un terme en moins 07-05-21 à 19:04

25+26+27 = ?
28+29 = ?



Posté par
kadile
re : somme entiers consécutifs un terme en moins 07-05-21 à 19:19

25+26+27 = 78
28+29 = 57
Oui ça ne marche pas!

Cela veut dire il y a des cas ou' ça ne marche pas du tout ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme entiers consécutifs un terme en moins 07-05-21 à 19:21

Qu'en penses-tu ?

Posté par
kadile
re : somme entiers consécutifs un terme en moins 07-05-21 à 19:29

Peut être que je n'ai pas tout compris !

Posté par
breuil
re : somme entiers consécutifs un terme en moins 07-05-21 à 19:47

Bonjour à tous
Relisez la première réponse (qui manque peut-être de clarté)
La recette:
Je choisis un nombre n
1° terme: n²
Nombre de termes n+1.
Ex n=3
3²=9
Nb de termes:4
9+10+11+12= 13+14+15.
Ce qui est intéressant est de la prouver.

Posté par
ty59847
re : somme entiers consécutifs un terme en moins 07-05-21 à 20:06

Peut-être  que pour que ça marche, il y a une condition sur le premier terme et une autre condition sur le dernier terme !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme entiers consécutifs un terme en moins 07-05-21 à 21:04

Citation :
En notant \; a \; le premier terme et \; p \; le nombre de termes au départ, la relation devient \; a = (p-1)2 .
Il y a une condition sur le nombre de termes.
Ce qui revient à dire qu'il y a une condition sur le dernier terme :
Si le premier terme est \; b2 , le dernier doit être \; b2+b .
On a une somme de b+1 entiers consécutifs qui est égal à la somme des b suivants.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme entiers consécutifs un terme en moins 07-05-21 à 21:08

Pour le prouver :
Calculer d'une part \; A = a+ (a+1) + (a+2) + ... +(a+p) \; somme de p+1 entiers consécutifs.
Et d'autre part \; B = (a+p+1) + (a+p+2) + ... +(a+p+p) \; somme des p entiers consécutifs suivants.
Résoudre A = B.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme entiers consécutifs un terme en moins 07-05-21 à 21:55

Je me suis un peu mélangée entre p et p+1, mais mon message de 21h08 donne bien
a = p2 , où p est le nombre de termes de la seconde somme.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme entiers consécutifs un terme en moins 08-05-21 à 07:18

Et ça correspond tout à fait à ce que breuil a écrit dans la 1ère réponse, puis répété

Posté par
kadile
re : somme entiers consécutifs un terme en moins 08-05-21 à 11:30

Oui Sylvieg , ça marche avec les deux conditions.
25+26+27+28+29+30=165
31+32+33+34+35=165

C'est tout simplement une curiosité ou ça peut servir à autre chose ?

Posté par
breuil
re : somme entiers consécutifs un terme en moins 08-05-21 à 12:54

Très bonne journée à tous,
c'était très bien qu'il y ait  toute cette exploration.
Je ne pense pas que le résultat soit  utile car la formule de la  somme des suites arithmétiques est beaucoup plus générale. Par contre c'était visiblement une question motivante.



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