Bonjour
Il s'agit de sommes de suites arithmétiques de raison 1.
On applique la formule.
Si on appelle a le premier terme (9 dans l'ex 1), et p le nb de termes -1 (3 dans l'ex 1).
On trouve après calcul que ça marche si a = p².
Il y a peur être plus simple??

Salut
A gauche si ta somme va de j à p et à droite de p+1 à  2p-j, alors la condition à réaliser est que j(2p+1)=j²+p²

Pour ton exemple p=12 et j=9.

On peut même simplifier l expression précédente en écrivant qu il faut que
(j-p) ²=j

... Donc j doit être un carré parfait..

Par exemple :
25+26+27+28+29+30=31+32+33+34+35

La somme est identique et je passe bien de 5 additions à 4 additions

Bonjour,
En notant a le premier terme et p le nombre de termes au départ, la relation devient a = (p-1)² .
Le premier terme a doit donc être un carré : a = b²
Forme générale :
b²+ (b²+1) + (b²+2) + ... + (b²+b) = (b²+b+1) + (b²+b+2) + ... + (b²+b+b)
Avec b+1 termes à gauche et b termes à droite

Finalement si la suite commence par un carré, on gagne une opération.
Si le dernier terme+1=un carré on ne gagne rien.

25+26+27+28+29+30+31+32+33+34+35=330
36+37+38+39+40+41+42+43+44+45 =405

25+26+27 = ?
28+29 = ?

25+26+27 = 78
28+29 = 57
Oui ça ne marche pas!

Cela veut dire il y a des cas ou' ça ne marche pas du tout ?

Qu'en penses-tu ?

Peut être que je n'ai pas tout compris !

Bonjour à tous
Relisez la première réponse (qui manque peut-être de clarté)
La recette:
Je choisis un nombre n
1° terme: n²
Nombre de termes n+1.
Ex n=3
3²=9
Nb de termes:4
9+10+11+12= 13+14+15.
Ce qui est intéressant est de la prouver.

Peut-être  que pour que ça marche, il y a une condition sur le premier terme et une autre condition sur le dernier terme !

Pour le prouver :
Calculer d'une part A = a+ (a+1) + (a+2) + ... +(a+p) somme de p+1 entiers consécutifs.
Et d'autre part B = (a+p+1) + (a+p+2) + ... +(a+p+p) somme des p entiers consécutifs suivants.
Résoudre A = B.

Je me suis un peu mélangée entre p et p+1, mais mon message de 21h08 donne bien
a = p² , où p est le nombre de termes de la seconde somme.

Et ça correspond tout à fait à ce que breuil a écrit dans la 1ère réponse, puis répété

Oui Sylvieg , ça marche avec les deux conditions.
25+26+27+28+29+30=165
31+32+33+34+35=165

C'est tout simplement une curiosité ou ça peut servir à autre chose ?

Très bonne journée à tous,
c'était très bien qu'il y ait  toute cette exploration.
Je ne pense pas que le résultat soit  utile car la formule de la  somme des suites arithmétiques est beaucoup plus générale. Par contre c'était visiblement une question motivante.