Bonsoir ! Pour l'initialisation déjà ce n'est pas trop dur. Comme n, on commence au rang 0. Remplace n par 0 séparément pour chaque membre de ton égalité, tu devrais tomber sur le même résultat, ce qui montre que ta propriété est initialisée.

Oui, c'est un bon début, mais il y a encore à faire ensuite. Pour commencer, je te conseilles de développer ce que tu as obtenu (ça peut servir ensuite qui sait).

Ensuite, intéresse-toi à l'expression . Développe-là pour obtenir : 1+3+...+2n+1. Fais de même avec l'expression . Tu ne reconnais pas quelque chose ? La 2e fois, tu devrais obtenir la même chose que la 1ère avec un "truc en plus". Va jusqu'à là pour l'instant.

salut

Bonjour,
je ne sais pas ce que recouvre ce "2(n+1) + 1 = (n + 2)² "
vu que c'est évidemment faux et ne rime simplement à rien du tout.

ce qu'il faut faire c'est écrire explicitement et en détail le squelette exact d'un raisonnement par récurrence, et pas du vague baratin.
ne pas prendre ses désirs pour des réalités en écrivant dès le départ ce qu'on ne sait pas encore et qu'on cherche à démontrer (car une telle démarche n'a jamais rien prouvé du tout)

initialisation : fait.
hypothèse de récurrence : quelle est elle précisément
en particulier ce n'est absolument pas : "pour tout n ..." mais pour un certain n et lui seul (qu'on ne fixe pas certes, mais ce n'est absolument pas vrai à priori pour aucune autre valeur de n que celui là, en particulier on ne sait pas si c'est vrai en remplaçant n par n+1 !!, car alors il n'y aurait rien du tout à démontrer !!)

à partir de cette seule hypothèse sur cette unique valeur de n là
et de la définition de la suite qui est exclusivement



seule et unique formule dans laquelle on a le droit de remplacer n par ce qu'on veut (donc par n+1) et nulle part ailleurs.

en déduire en développant explicitement cette formule de définition


et en tenant compte de l'hypothèse de récurrence (qui rappelons le n'est vraie par hypothèse que pour n et pas pour aucune autre valeur, ni n+1 ni quoi que ce soit d'autre)
que la propriété exprimée par l'hypothèse de récurrence est aussi vraie au rang n+1

c'est CELA un raisonnement par récurrence
pas du vague baratin, mais ces écritures explicites de l'hypothèse de récurrence et l'écriture explicite du développement des calculs décrits ci dessus.

mathafou a tout-à-fait raison. Désolé, je n'ai pas bien relu en répondant.  Bien entendu, ce que l'on doit trouver à la fin, ce n'est pas 2(n+1) + 1 = (n + 2)²  , mais bien =(n+2)².  Cependant, lancer cette égalité comme ça ne prouve rien, c'est seulement ce qu'on doit obtenir à l'issu de notre travail. Ce que je conseillais de développer, c'est (n+2)². En fait, on part de chacun des deux membres de cette égalité (qui n'est à ce stade pas encore prouvée) , et on montre qu'ils sont égaux à la même chose. En développant (n+2)², tu vas obtenir quelque chose. Et en travaillant avec , tu vas obtenir la même chose. C'est de ce travail-là dont je parlais dans mon précédent message. Mais mathafou l'explique bien mieux que moi !

Tu peux remarquer que , ce n'est jamais que +2(n+1)+1 (tu peux développer ces expressions sans le symbole pour t'en convaincre comme je te le disais). Et grâce à ton hypothèse de récurrence, tu peux remplacer dans l'expression +2(n+1)+1. En réduisant, tu obtiens la même chose que ce tu as trouvé en développant "(n+2)²".

Merci beaucoup à vous 2, mathafou et Multifonction pour m'avoir éclairci sur l'exercice et la méthode, je l'ai compris et réussi, je me servirai de ce post pour les prochains exercices de la même forme.

Bonne journée.

je n'étais pas ré-intervenu après mathafou qui a proprement explicité le fond de ma pensée en détail ... pour dire ce que je viens de dire mais à nouveau j'interviens !!!

il est inutile de développer (n + 2)^2 quand il suffit de factoriser (n + 1)^2 + 2(n + 1) + 1

on part de et on ne s'arrête pas en chemin tant qu'on n'a pas obtenu ... ce qu'on doit obtenir !!

epictou dans un cas aussi trivial ...(même si on n'en perçoit pas la trivialité en terminale bien sur) mais dans le cadre de l'apprentissage du travail méthodique et rigoureux