Bonjour !
Je viens solliciter votre aide pour résoudre les dernières questions d'un problème.

L'énoncé est le suivant :

On considère la suite (un) de réels strictement positifs définie par : u0 = 2 et, pour tout n de N,
ln(un+1) = 1+ln(un).

1) Exprimer un+1 en fonction de un et préciser la nature de la suite (un)

2) Déterminer la monotonie de la suite (un) et préciser sa limite.

3) Exprimer la somme uk en fonction de n. (Pour k allant de 0 à n)

4) Exprimer la somme ln(uk) en fonction de n (Pour k allant de 1 à n)
En déduire le calcul de u1u2u3..un en fonction de n.

Ainsi, j'ai exprimé un+1 comme un+1=eun

J'en ai déduis que un=2eⁿ

En faisant un+1-un >0, la suite est croissante et sa limite me semble etre +

Maintenant, ce qui me pose problème c'est donc le 3) et 4) :
J'ai exprimé uk en fonction de n comme (eⁿ⁺¹-1)/(e-1)

et pour le 4) j'ai fais ln(uk) = ln(2e^k) = ln(2) + k = ln(2)k = ln(2)n(n+1)/2

sauf que voila, je n'arrive pas exprimer le produit final demandé et mes réponses aux 2 dernières questions me semblent tirées par les cheveux.

Je vous remercie d'avance pour le temps que vous prendrez pour vous pencher sur mon exercice.
Bonne soirée!