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Sommes de Newton, problème un peu complexe
Bonsoir,
Au cours d'un exercice sur les sommes de Newton, une question me pose un petit problème.
Comme vous le savez, la somme de k=1 à n de k vaut n(n+1)
2
La somme de k=1 à n de k^3 vaut (n(n+1))2
22
L'énoncé de l'exercice nous dit :
Cette dernière relation, S3,n = (S1,n)2, est propre au cas 1 et 3.
Supposons que p soit un entier naturel, qui vérifie que pour tout entier naturel n, il existe un entier naturel m tel que Sp,n=m2.
Montrer alors que p=3
Nous est donné l'astuce qui dit que si x divise 2y, alors x est aussi une puissance de 2.
Mon prof m'a dit qu'il fallait commencer comme ça :
Sp,1 = 1p
Sp,2 = 1p + 2p
Sp,3 = 1p + 2p + 3p
...
Sp,n = 1p + ... + np
Mais voila, je n'y arrive pas, et bien que ce soit un exercice optionnel j'aimerai avoir quelques pistes.
Merci d'avance !
Tout d'abord, merci pour votre réponse.
Il me semblait que c'était ça oui, donc j'ai écris :
1p + 2p = m2
<=> 2p = m2 - 1
<=> 2p = (m-1)(m+1)
m+1 et m-1 divisent 2p, donc m+1 et m-1 sont des puissances de 2.
Notons m+1 = 2x et m-1 = 2y, on a alors 2p = 2x2y = 2x+y d'où p = x+y.
Suis-je sur la bonne voie ? Je ne vois pas trop comment parvenir au p=3.
Ce n'est pas compliqué.
m-1 et m+1 sont des puissances de 2 séparées de 2.
Il suffit de considérer la suite des puissances de 2: 1, 2, 4, 8, 16,...
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