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Sommes et produits

Posté par
solaris 23-09-07 à 11:25

Bonjour,

J'ai quelques sommes à fair emais je ne vois pas comment faire, si quelqu'un a une idée.
n      n
  ((i.x^j)/j )
i=1  j=i


n      i
  ((i-1)(n-j+1)) (n>= 2)
i=2  j=1


Merci d'avance

Posté par
solarisre : Sommes et produits 23-09-07 à 11:39

  

Posté par
solarisre : Sommes et produits 23-09-07 à 12:11

N'y a-t-il personne?

Posté par
solarisre : Sommes et produits 23-09-07 à 17:48

Posté par
solarisre : Sommes et produits 24-09-07 à 07:40

  

Posté par
mikayaoure : Sommes et produits 24-09-07 à 07:58

bonjour

Pour la 1°, tu peux sortir le i de la parenthèse et mettre la somme sur j en facteur

il reste la somme sur i = n(n+1)/2 fois la somme sur j qui est peut-être un DL connu...

A vérifier

Posté par
xtasxre : Sommes et produits 24-09-07 à 08:00

Salut,

Pour la seconde, passe le (i-1) devant la somme et montre que la somme sur j est égale à n(n+1)/2 - (n-i)(n-i+1)/2 : ensuite en développant et en utilisant les somme d'entiers consécutifs et les sommes de carrés d'entiers consécutifs, tu auras le résultat.

A une erreur de calcul près

Posté par
solarisre : Sommes et produits 24-09-07 à 19:19

Pour la 1ère somme je ne vois pas comment tu passes de mettre la somme sur j en facteur à i= n(n+1)/2 dois la somme des j

Posté par
solarisre : Sommes et produits 24-09-07 à 19:27

Pour la 2ème je trouve:
  n
(1-i) (n^2 -(i^2)/2 +n)
I=2


Est-ce juste pour l'instant???

Posté par
solarisre : Sommes et produits 24-09-07 à 20:12

  

Posté par
solarisre : Sommes et produits 24-09-07 à 22:12

  

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Sommes et produits. 25-09-07 à 03:14

Bonsoir ;

Pour n\in\mathbb{N}^* et x\in\mathbb{R} notons \fbox{A_n(x)=\Bigsum_{i=1}^{n}\Bigsum_{j=i}^{n}\frac{ix^j}{j}}.

Pour i,j\in\{1,..,n\} définissons \fbox{a_{ij}=1\hspace{5}si\hspace{5}i\le j\\0\hspace{5}sinon} , on a alors :

\fbox{A_n(x)=\Bigsum_{i=1}^{n}\Bigsum_{j=1}^{n}\frac{ia_{ij}x^j}{j}=\Bigsum_{j=1}^{n}\Bigsum_{i=1}^{n}\frac{ia_{ij}x^j}{j}=\Bigsum_{j=1}^{n}\frac{x^j}{j}\Bigsum_{i=1}^{n}ia_{ij}=\Bigsum_{j=1}^{n}\frac{x^j}{j}\Bigsum_{i=1}^{j}i=\Bigsum_{j=1}^{n}\frac{j+1}{2}x^j}.

cette somme est facilement calculable pour x=1 ,
pour x\neq1 on peut remarquer que \fbox{A_n(x)=\frac{1}{2}(\Bigsum_{j=1}^{n}x^{j+1})'} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
Dremire : Sommes et produits 25-09-07 à 07:43

solaris, pour 2, tu as fait une erreur de calcul:
\bigsum_{i=2}^n\bigsum_{j=1}^i(i-1)(n-j+1)=\bigsum_{i=2}^n(i-1)i\frac{2n-i+1}{2}=\frac{1}{2}\,\bigsum_{i=0}^{n-1}i(i+1)(2n-i)=\frac{1}{2}\,\left(2n\bigsum_{i=0}^{n-1}i+(2n-1)\bigsum_{i=0}^{n-1}i^2-\bigsum_{i=0}^{n-1}i^3\right) \\ \ \ =\frac{1}{2}\,\left(2n\frac{n(n-1)}{2}+(2n-1)\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}-\frac{n^2(n-1)^2}{4}\right)=\frac{(n-1)n}{24}\,\left(12n+2(2n-1)^2-3n(n-1)\right)=\frac{(n-1)n(n+1)(5n+2)}{24}\ .


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