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Sous-algèbre
bonjour,
je dois montrer que , pour f un endomoprhisme E (espace vectoriel), on a qui est une sous-algèbre de L(E).
Soit a,b des scalaires, g et h de L(E).
Alors (g+h)of=gof+hof=fog+foh=fo(g+h) donc c'est stable par l'addition.
(a*g)of=a*gof=a*fog=fo(a*g) donc c'est stable par la multiplication par un scalaire.
Et (a*g+b*h)of=a*gof+b*hof=a*fog+b*foh=fo(a*g+b*h) donc c'est linéaire.
Donc c'est un sous espace vectoriel.
Est-ce que pour le moment c'est correct ? (il me reste a montrer que c'est un anneau)
Bonjour rust
D'abord, il faut dire que c'est non vide.
Ensuite, la 3ème chose que tu as écrite me paraît superflu.
Kaiser
en effet, je me suis un peu mélangé.
Alors c'est non vide : il y a au moins la fonction identité.
Par contre, pour montrer que c'est une anneau, je dois montrer que c'est un groupe commutatif, mais quel loi dois-je prendre ? Parce que j'ai essayer avec la loi +, mais je n'arrive pas a trouver d'element neutre
oui, j'y ai penser, mais je croyais qu'on devait avoir un truc du genre: en notant a un element du "groupe" et e l'element neutre, a*e=e*a=a et a*a=e, mais j'ai encore du imaginier le a*a=e
Une question : tu cherches bien à montrer que c'est une sous-algèbre ?
Dans ce cas, ne vas pas tout redémontrer.
Tu sais que L(E) muni des lois +, o et . est une algèbre.
Il te suffit donc de montrer que c(f) est stable par combinaison linéaire (ce que tu as déjà fait) et par composition.
en effet,je viens de farfouille dans mes cours, et on é deja montrer que:
L(E) munni des deux loi internes + et o et de la loi externe . est une algèbre.
par contre, pourquoi suffit-il de montrer que c(f) est stable par combinaison linéaire et par composition ?
J'oubliais une chose : il faut aussi vérifier que l'élément neutre pour la loi o (autant dire l'application identité) est aussi dans
c(f).
Alors il suffit que je dise:
-L(E) muni des deux loi internes + et o et de la loi externe . est une algèbre.
-(ag+gh)of=fo(ag+bh) Donc c(f) est stable par combinaison linéaire
-Idc(f) car on a bien Idof=foId=f (et Id est l'element neutre de la loi o)
-la composée de deux applications linéaires est une application linéire, donc gohc(f), et (goh)of=gohof=gofoh=fogoh=fo(goh).
Comme justification c'est suffisant ?
la composée de deux applications linéaires est une application linéaire, donc goh
Je ne vois pas le lien !
pardon, je voulais ecrire gohL(E) et après je montre que ca appartient a c(f)
Dans ce cas, c'est suffisant !
Pour t'en convaincre, je te conseille d'aller voir dans ton cours à la définition de sous-algèbre.
justement, je n'ai pas de définitions de sous-algèbres, j'ai juste une définition de algèbre
en fait, quand je fais stable par combinaison linéaire, c'est pour faire stable par la loi + et stable par la loi ., c'est ca ?
justement, je n'ai pas de définitions de sous-algèbres, j'ai juste une définition de algèbre
Qu'à cela ne tienne : ça revient à montrer que c'est un sous-anneau et un sous-espace vectoriel de L(E).
alors pourquoi faut-il en plus montrer que Id appartient a c(f) ?
Pour que ce soit une algèbre, il faut aussi vérfier que l'élément neutre pour la deuxième loi soit dedans.
ok, merci beaucoup.
Je fais la suite de l'exerice, et je sens que je vais encore avoir besoin d'aide. On risque de me revoir
me revoilà,
soit f un endomorphsime de L(E) et M sa matrice dans la base B.
Montrer que l'on a c(f)=L(E) si et seulement si M commute avec toutes les matrices Eij.
Je ne vois pas comment faire.
a droite c'est pas un vecteur, c'est une matrice.en fait j'ai juste traduit le Vect, mais j'ai ptete pas été clair.
Mais je ne vois pas comment je peux en déduire que c(f)=L(E) si M commute avec tous les Eij
Si c(f)=L(E), alors f commute avec tous les endomorphismes g.
De manière équivalente (en passant aux matrices), M commute avce toutes les matrices carrées d'ordre n.
Es-tu d'accord avec moi ?
oui, toutes ces matrices etant les matrices de tous les endomorphismes g
Il faut donc montrer que M commute avec toutes les matrice carrées d'ordre n si et seulement si M commute avec les matrices .
oui,
donc je calcule et
, et je dois avoir
.
Et en calculant les deux produits, je trouve que la terme a_ij est différent de 0, tous les termes a1i,a2i,...,ani,aj1aj2,...,ajn sont nuls
En fait, il n'y a aucun calcul à faire.
Si M commute avec toutes les matrices carrées d'ordre n, alors en particulier elle commute avec les .
Réciproquement, si M commute avec les , alors par linéarité, elle commute avec n'importe combinaison linéaire des
et donc avec n'importe quel matrice de
.
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