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Sous-anneaux
Bonjour, je bloque sur la première question de cet exercice
Décidez lesquels des éléments suivants sont des sous-anneaux de l'anneau de toutes les fonctions de l'intervalle fermé
fermé [0,1] à
a) L'ensemble des fonctions f(x) tel que f(q) = 0 pour tout q
Je doute pour les notations mais on va appeler mon anneau et S l'ensemble dont je tente de prouver que c'est un sous-anneaux.
Mais concernant le neutre multiplicatif j'ai un peu de mal...
doit respecter cette condition:
Donc pour moi nécéssairement doit être nécéssairement la fonction constante vallant 1.
Sauf qu'elle n'existe pas dans S donc dois-je conclure que S n'est pas un sous-anneaux ? car dans mes notes j'avais mis que c'est effectivement un anneau alors ça me fait douter
Bonsoir,
tu peux prendre la fonction indicatrice des irrationnels sur [0 ;1] comme unité de ton sous anneau.
Je bloque aussi sur un dernier sous ensemble, comme je ne suis pas sur de la traduction (car je ne comprends pas l'énoncé) je vous laisse l'énoncé en anglais et une tentative de traduction:
f) the set of all rational linear combinations of the functions and
, where
f) l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires rationnelles des fonctions sinnx et cosmx (?)
En fait je ne vois pas ce que fait la fonction, l'imagine qu'elle peut renvoyer peut être qu'un exemple pourrait m'éclairer
En fait, j'ai une autre question normalement le neutre multiplicatif devrait être unique or j'ai trouvé deux éléments différents satisfaisant cette condition, comment est-ce possible?
En effet, je viens de me rendre compte que j'aurais tout aussi bien pu prendre la fonction nulle !
Non.
On a des fonctions de [0 ; 1] dans
qui sont nulles pour toutes les valeurs rationnelles.
Mais on ne sait pas ce qui ce passe pour les valeurs irrationnelles.
L'unité de ton « sous-anneau » doit valoir 1 pour toutes les valeurs irrationnelles.
Je bloque aussi sur un dernier sous ensemble, comme je ne suis pas sur de la traduction (car je ne comprends pas l'énoncé) je vous laisse l'énoncé en anglais et une tentative de traduction:
f) the set of all rational linear combinations of the functions
f) l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires rationnelles des fonctions sinnx et cosmx (?)
En fait je ne vois pas ce que fait la fonction, l'imagine qu'elle peut renvoyer peut être qu'un exemple pourrait m'éclairer
Ça c'est un autre exercice, auquel il manque a minima une question.
Tu devrais ouvrir un nouveau fil pour en parler.
Hello ok j'ai compris concernant la question f, je t'assure qu'il s'agit toujours du même exercice (Abstract Algebra, 3rd Edition ( PDFDrive, exercice 7 page 245 si tu veux témoigner de l'énoncé)
Bonsoir,
L'ensemble des fonctions de dans
qui s'annulent aux points rationnels n'est pas un sous-anneau de l'anneau de toutes les fonctions de
dans
.
Tu avais raison dans ton premier message : l'élément neutre pour la miltiplication du grand anneau doit
appartenir au sous-anneau, ça fait partie de la définition de sous-anneau (vérifie dans ton manuel, dans certains ouvrages anciebns on ne demandait pas à un anneau d'avoir un élément neutre pour la multiplication).
Bien sûr, ce sous ensemble a une structure d'anneau comme l'a écrit verdurin, mais ce n'est pas un sous-anneau de l'anneau de toutes les fonctions.
Les fonctions de l'exercice sont de la forme
où les sont rationnels et les
entiers. Je te laisse réfléchir si dans ce cas on a bien un sous-anneau de l'anneau de toutes les fonctions.
Oui en fait, dans ma tête la définition de sous anneau n'était pas claire, je ne savais pas s'il devait avoir un neutre multiplicatif ou si ça devait absolument être le même dans le sous-aneau que dans l'anneau.
Parfois quand on passe d'un anneau à un sous-anneau l'identité change donc la définition me portait à confusion!
Et merci je vais y réfléchir encore un peu, j'ai l'impression que c'est bien un sous-anneau mais il faut que je le prouve formellement.
Parfois quand on passe d'un anneau à un sous-anneau l'identité
NON !!!
Je t'ai demandé de vérifier dans ton manuel la définition de sous-anneau. l'as-tu fait ?
Je voulais dire quand on passe d'un anneau à un sous-ensemble de cet anneau , par exemple:
L'identité dans est
mais dans A c'est
.
Oui j'ai relu la définition et cela dépend des livres (mon manuel):
-Pour montrer qu'un
sous-ensemble d'un anneau A est un sous-anneau, il suffit de vérifier qu'il est non-vide et fermé par soustraction et par multiplication.
- Un sous-anneau B de l'anneau (A, +, ·) est un sous-ensemble de A qui est un anneau pour
les mêmes lois, en particulier, il contient l'élément unité 1 de A
Donc selon les définitions, la réponse à l'exercice diverge comme tu le disais.
Je bloque complètement pour montrer que c'est une loi de composition interne pour l'addition et la multiplication
Voilà je suis bloqué à cette étape, je me doute qu'il faut définir r>r' et s>s' et faire une grande factorisation pour se ramener à une expression de la forme de la formule générale de ces fonctions qu'à donner GBZM , j'ai tenté d'utiliser les formules d'expansions de cos(nx) mais je me perds dans les calculs sans m'approcher du résultat
Pour la multiplication, je pense avoir prouver que
On pose r=r', si ce n'est pas le cas alors on rajoute simplement le coefficient rationnel 0 pour sommer aux mêmes indices les p_i, p_j,p_i' et p_j'.
en utilisant le fait que la loi est close par addition (ce que j'essaye de prouver)
L'idée est d'utiliser les formules de linéarisation pour les 4 membres et de conclure grâce à l'internalité de l'addition
Voyons, une somme ou une différence de combinaisons linéaires est une combinaison linéaire, n'est-ce pas ?
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