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Sous espace vectorielle
Bonjour,
Voici l'exercice : On considère l'ensemble S des fonctions dérivables y telles que y'=ay+b,où a et b sont des réels.
(a) Montrer que S ⊂C1(R,R)
(b) Montrer que S est un sous-espace vectoriel de C1.
Pour la première question je n'ai pas eu de soucis car si y ∈S , alors y est dérivable et on a y'=ay+b qui est dérivable puisque ay+b est derivable ce qui implique que y' est continue donc y ∈C1(R,R).
Par contre pour la deuxième question je bloque. En effet pour moi la fonction nulle n'appartient pas à S car a*0+b=b et b n'est pas forcément nulle... Après je me suis dis que peut-être on pouvait prendre des valeurs de a et b que l'on voulait car S représente l'ensemble des fonctions qui vérifient y'=ay+b pour tout a et b réels. En suivant ce raisonnement je choisis par exemple b=0 et on a bien la fonction nulle qui appartient à S. Cependant avec ce raisonnement je n'arrive pas à montrer que si f et g sont dans S alors f+g est dans S. En effet (f+g)'= f'+g'=af+b+cg+d et là je bloque comme ce ne sont pas forcément les même coefficients avec mon raisonnement...
En résumé si je suppose que a et b sont fixé j'arrive à montrer que f+g et 
f sont dans S mais la fonction nulle n'est pas dans S. Par contre si je suppose que a et b sont quelconque j'arrive à montrer que la fonction nulle est dans S mais f+g et f ne sont pas dans S.
Je vous avoue que je suis un peu perdue...
Merci d'avance pour votre aide.
salut
tu devrais nous donner la définition exacte de S donnée dans l'énoncé
je pense que c'es plutôt :
S est l'ensemble des fonctions dérivables f telles qu'il existe des réels a et b tels que f' = af + b
dans ce cas 0 et kf appartient bien à S
mais effectivement pour la somme il semblerait y a voir un pb ...
Voici l'énoncé exacte :
Soit C1(R,R) l'ensemble des fonctions continûment dérivables de R dans R(c'est-à-dire de classe C1 sur R).
1. Montrer que c'est un espace vectoriel.
2. On considère l'ensemble S des fonctions dérivables y telles que y=ay+b,où a et b sont des réels.
(a) Montrer que S ⊂C1.
(b) Montrer que S est un sous-espace vectoriel de C1
Je n'ai malheureusement pas plus de précisions. Cependant dans les 2 cas ça n'a l'air de pas fonctionner donc je trouve ça bizarre...
Bonjour
La fonction nulle (qui est continument dérivable) appartient bien à S car sa dérivée est elle-même, donc une fonction linéaire (donc affine) de la fonction nulle.
0 = 1.0 +0
(il existe deux nombres a et b tels qu'on a l'égalité)
Bonjour
La fonction nulle (qui est continument dérivable) appartient bien à S car sa dérivée est elle-même, donc une fonction linéaire (donc affine) de la fonction nulle.
0 = 1.0 +0
(il existe deux nombres a et b tels qu'on a l'égalité)
Merci de votre aide. Effectivement j'ai réussi à démontrer ceci. Là où je bloque c'est pour monter que f+g est dans S lorsque je prends f et g dans S.
Bonjour,
@Eddy69140,
C'est normal que tu bloques, car, comme signalé par carpediem, il y a quelque chose qui ne va pas dans l'énoncé quel que soit son interprétation.
On ne sait pas si a et b sont des réels donnés au départ ou si c'est "tels qu'ils existent".
Dans les deux cas, on peut chercher les solutions de y' = ay+b.
En séparant a réel non nul de a = 0.
Bonjour,
@Eddy69140,
C'est normal que tu bloques, car, comme signalé par carpediem, il y a quelque chose qui ne va pas dans l'énoncé quel que soit son interprétation.
On ne sait pas si a et b sont des réels donnés au départ ou si c'est "tels qu'ils existent".
Dans les deux cas, on peut chercher les solutions de y' = ay+b.
En séparant a réel non nul de a = 0.
Merci pour ces explications. Par rapport aux informations qu'on a et de la manière que l'on interprète, si j'ai bien compris S ne sera dans tout les deux cas pas un sous espace vectoriel. Il y a donc sûrement une erreur dans l'énoncé, merci beaucoup à tous !
Bonne journée
fort probablement ...
et tiens nous au courant quand tu verras ton prof ...
Je prépare un concours et je suis livré à moi-même donc pas de professeur...
Un ami à moi prépare aussi ce concours et c'était inscrit à un stage. À la fin on lui avait proposé des exercices pour s'entraîner dont celui ci mais sans correction...
Bonjour,
Une idée : a est fixé, mais b est libre...
Merci pour votre aide. Ca fonctionne effectivement pour moi.
Bonne soirée
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