Bonjour,

Tu peux considérer une fonction continue f_i qui vaut 1 en t_i et 0 en t_j  pour j différent de i. (Il faut prouver que de telles fonctions existent. Tu peux prendre des polynômes ou des fonctions affines par morceaux par exemple.)
L'espace vectoriel engendré par ces n + 1 fonctions est un supplémentaire de F, me semble-t-il.

Cordialement
Frenicle

Dans ce cas je tente de prendre G={g \in E / \forall i,j \in [0,n] g(ti)=0 et g(tj)=1 (j<>i)}
et de montrer que F et G sont supplémentaires dans E, il est aisé de montré que l'intersection de F et G se réduit à {0} mais comment montrer que E=F+G ?

Je ne comprends pas ta définition de G.

Et bien je prend:G={g E / i,j [0,n] g(ti)=0 et g(tj)=1 (j<>i)}
Le symbole <> signifie différent de (comme avec Maple)
Est ce qu c'est correct?

Prenons n = 1. On a les réels t₀, t₁.
Tu écris que pour tous i, j compris entre 0 et 1, on a g(t_i) = 0 et g(t_j) = 1 si i j. Qu'est-ce que ça veut dire ? Combien vaut g(t₀) par exemple ? 0 ou 1 ?

Bonjour, henri IV

L'ensemble G que tu as défini n'est pas un sous-espace vectoriel ...
Relis bien la suggestion de frenicle (le 23/09, à 12h08), qui donne la solution Personnellement, je préfère les polynômes, parce qu'on a un joli résultat dans le cours sur les polynômes d'interpolation de Lagrange: un supplémentaire de F est donc R_n[X] ... ou plus exactement l'espace des fonctins polynomiales sur [0,1], dont le degré est inférieur ou égal à n.