3) c'est montrer que la composition de dilatation est aussi une dilatation.

Je pense qu'il faut montrer que l'application est un morphisme de groupe et donc l'image est un groupe.

Merci de ta réponse, malheureusement je ne sais pas en quoi consiste une dilatation. Je n'ai pas vraiment de notion sur les groupes, j'ai juste un poly de cours mais qui malheureusement ne m'aide pas beaucoup (ou peut-être je ne m'en sert pas bien... ^^)

Si tu pouvais détailler un petit peu parce que je crois que je vais avoir beaucoup de mal à démontrer  ton morphisme vu mon niveau.

Et si quelqu'un à des idées pour le 2) je suis preneur également, ça m'aidera peut-être pour le 3) ^^.

ah pardon j'avais pas vu que tu étais bloqué pour la 2, dans la question 2, tu as trouvé quoi comme élément neutre de G ?

c'est bien ça?

ah pardon, pour la 1) tu n' as pas tout fait, tu as juste montré que la loi n'est pas commutative, mais tu n'as pas montré que est un groupe.

Il faut aussi que tu montres que

i)  la loi est bien définie,

ii) la loi est associative,

iii)la loi admet un élément neutre,

iv) tout élément de G admet un élément inverse.

Oui c'est effectivement e=(O,1) j'avais pas pensé à assimiler eux à un couple (x,y), j'ai pas encore les bons réflexes...

Ca parait évident (je crois ^^) que (0,1) (*+) mais je sais pas si faut en faire un démonstration , car comme tout ça est nouveau pour moi et donc je ne perçois pas vraiment les choses "évidentes" qui ne nécessitent peut être pas d'explication...

Après il faudrait que je montre que (x,y) (*+), x^-1 (*+) avec x^-1 le symétrique de X dans (*). Si je ne me trompe pas...


Pour la 1) bien vu j'avais même pas pensé à ça, pour moi c'était évident, même si le démontrer le sera moins ^^.

pour i) on voit à quoi qu'un ensemble est défini?? je suppose que c'est différent d'un simple  ensemble de définition d'une fonction (je pense pas que la comparaison soit d'ailleur très judicieuse...)

En tout cas merci pour ton aide =)

pardon c'est ma faute j'avais pas vu que tu étais en terminale (ou en prépa).

déjà il vaut mieux faire les questions dans l'ordre, ici elle "découlent" presque l'une de l'autre.

pour la question 1), ce n'est pas l'ensemble qui doit être bien défini, mais la loi .

Une loi de composition interne dans , c'est une application de dans ,

donc il faut montrer que pour tout , il existe un unique élément tel que

(attention X,Y et Z je les ai notés en majuscule parce qu'ils désignent des couples d'éléments, on peut les noter par exemple: )  

En même temps j'avais pas non plus précisé que j'étais en prépa ^^.

ici (a_x,b_x) (a_y,b_y) = (ax + b_xa_y, b_xb_y) et donc ton Z est unique avec a_z= (a_x + b_xa_y) et b_z= (b_xb_y)??

Ca me parait un peu trop simple pour que ça soit ça ^^

oui c'est bien ça (il ne faut pas chercher forcément compliqué, c'était juste un point à préciser)

ensuite ii) la loi est associative:

donc tu dois montrer que pour tous , on a

.

Ah ^^ ça fait toujours plaisir quand c'est simple ^^ (en même temps c'est que la première question ^^).

i) ii) iii) c'est bon. Pour iv)

il faut que je montre que (x,y)   (x^-1, y^-1) = (x^-1,y^-1)   (x,y) avec x^-1 et y^-1 les inverses de x et y.

Mais en prenant e=(0,1) je trouve d'un côté x+ yx^-1=0 et yy^-1 =1

et de l'autre côté x^-1 + y^-1 x=O et y^-1 y =0

Or x + yx^-1 x^-1 + y^-1 y n'est pas vrai quelque soit x et y de (*+) si je ne me trompe pas...

Normalement j'aurais dû trouver une égalité je crois

désolé petites fautes de frappe: x + yx^-1 = x^-1 + y^-1 y n'est pas vrai quelque soit x et y de (*)

or je devrai trouver l'égalité vrai pour tout  x et y de (*)

en fait pour tout , tu cherches tel que

.

donc il faut qu'on ait

donc et

donc b=\frac{1}{y} (ne pas oublier que est dans par définition de , donc .

et ,

l'inverse de (qu'on peut noter ) est donc l'élément (qui est bien dans ).

je voulais dire (jai oublié les balises latex )

Pas de problème ^^.

Ok donc la question 1) est finie, heureusement que t'es là.

Pour la 2) avec G= *
                H= *+

- (X,Y) H, XY H (avec X= (x,y) et Y=(x',y'))

x+yx' est réel mais yy' n'est pas forcément >O comme y... (problème? (de moi biensur ^^))

- Sinon il est évident que e=(0,1) H

- et on a (x,y) H on (x,y)^-1 (-x/y,1/y) H

Et avec tout ça on montre que H est un sous groupe de G, c'est ça?

ok donc oui pour finir la question 1), tu as bien montré que la loi n'est pas commutative, en prenant un contre-exemple:

et  .

Pour la 2), il faut être plus précis pour montrer la stabilité du passage à l'inverse:

pour que H soit un sous-groupe de G, il faut que pour tous et de , on ait:

i) ,
ii) ,
iii)


i)

comme , on a bien , et comme , on a aussi .

Donc  


ii) on a
vu que ,
comme , on a , d'où .

Donc


iii) et ,
donc

Donc H est un sous-groupe de G, et donc H est un groupe.

Pour la 3) qu'as-tu comme définition d'un morphisme de groupes?

Merci pour tout

Pour la 3)

Soient (G,¤) et (G,#) deux groupes. On appelle (homo)morphisme des groupes G et G' toute application f: GG' qui vérifie:
x,y G, f(x¤y) = f(x)#f(y).


Soient (G,¤) et (G,#) deux groupes de neutres respectif e et e', et soit f: GG' un morphisme. Alors:
i)f(e)=e'
ii) xG, (f(x))^-1 = f(x^-1)
iii)f est injective si et seulement si le seul antécédent de e' est e.

J'ai la démonstration des trois propriétés mais bon c'est assez long pour que je tape tout ici et j'ai surtout pas le temps ^^ mais si tu la veux je peux quand même le faire (je te dois bien ça ^^)...

merci ce ne sera pas la peine

Pour la 3)

tu considères le groupe et le groupe et l'application , définie telle que quelque soit .

i) Tu montres que c'est un morphisme de groupe.

ii) montrer que si G et H sont des groupes, et g est un morphisme de E dans H, alors f(G) est un sous-groupe de H.

iii) on conclut à l'aide de ii) et du fait qu'un sous-groupe H de G est un groupe pour la loi induite par celle de G.

Ok merci beaucoup mais je regarderai cela demain la tête froide parce que pour aujourd'hui j'ai eu ma dose ^^.

En tout cas c'est vraiment gentil d'avoir passé autant de temps pour moi.
Bonne soirée =)

Bonne soirée