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sous groupe d'indice n
Bonjour,voici l'exercice que je veux résoudre:"Soit G un groupe,H un sous groupe d'indice n de G.Montrer qu'il existe un sous groupe distingué N de G tel que N soit dans H et [G:H]/n!.
En faite j'ai réussi quasiment à tout faire,je n'arrive juste pas à montrer que N est dans H.
Voici une partie de ma solution:G agit sur G/H,on peut donc considérer un morphisme de G dans SG/H,le noyau de celui ci (que l'on appellera N)est distingué dans G.
SG/H
Sn(isomorphe).
D'aprés le théorème homomorphie il y'a une injection entre G/N est Sn,
donc G/N est isomorphe a un sous groupe du groupe symétrique Sn,ainsi [G:N]/n!,par contre je ne vois pas pourquoi N est dans H.
J'ai essayé de calculé le noyau explicitement,voila ce que je trouve:N=
gHg-1, je ne vois pas pourquoi c'est dans H
Bonjour
Montrer qu'il existe un sous groupe distingué N de G tel que N soit dans H et [G:H]/n!.
on cherche N tel que N soit distingué dans G et N inclus dans H,il faut également que le cardinal de [G:N] divise n!
L'on sait que la donnée d'une action [à gauche] du groupe sur l'ensemble
équivaut à la donnée d'un morphisme de
dans
, défini par
pour
et
. Ici, l'on a une action de
sur
par translation. Or, par hypothèse, l'indice de
dans
, noté
, est tel que
. Ce faisant,
et
sont naturellement isomorphes, si bien que l'on peut considérer le morphisme de groupe
de
dans
. Son noyau
est un sous-groupe distingué de
qui est visiblement tel que
. Finalement, l'on sait que
et
sont isomorphes, alors que le cardinal de
divise
. Tout me semble démontré.
A +
J'ai été un peu vite en écrivant . C'est loin d'être aussi visible que je le pensais. En considérant le quotient
, où
est l'épimorphisme canonique de
sur
et en sachant qu'il existe une bijection de
sur l'ensemble des sous-groupes de
contenant
, le résultat n'est pas acquis. Il faut y réfléchir un peu plus.
Est-ce l'énoncé exact que tu as rédigé ?
A +
oui c'est bien,en faite l'énoncé est écrit avec des quantificateurs,N(inclus ou égal à) H,mais cela ne change rien
J'y pense (très très vite, vu que je t'ai sous la main !) En prenant , n'a-t-on pas ce qu'il nous faut ?
A +
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