Bonsoir

Que n'arrives-tu pas à faire ?

Montrer que H est un sous-groupe de :

(i) Vérifie que H est stable pour l'addition

(ii) vérifie que 0 appartient à H

(iii) vérifie que l'opposé de tout élément de H appartient à H

C'est quoi ?

merci de m'avoir répondue et désolé pour la faute de frappe...En fait, il n'y a pas de r dans l'énoncé!!

Salut,

un petit exercice pour toi, que tu peux essayer de chercher, et qui est plus général que ton exercice :

Tout sous-groupe G de R est soit de la forme aZ = { an, n \in Z}, avec a>0, soit il est dense dans R.

Dans le 1er cas, a est la borne inférieure de G \cap R+, dans le second, la borne inférieure de G est 0. Tu peux partir de ces 2 cas (borne inférieure >0 ou alors nulle), et montrer que dans le 1er, on trouve un sous-groupe de la forme aZ, dans le second, un sous-groupe dense dans R.

Cordialement, Alpha

Euh, petite rectification, dans 1er et dans le 2ème cas, a et 0 sont respectivement la borne inférieure de G inter R+\{0} bien sûr.

Bonjour;
En effet,les sous groupes additifs de sont discrets (de la forme ) ou denses (c'est un résultat classique dont la démonstration est en gros celle proposée par Dieu-Alpha).
n'étant pas discret ( sinon serait rationnel ) il est donc dense.
Une conséquence intéréssante:
la fonction étant continue,elle transforme une partie dense de en une partie dense de et ainsi on voit que est dense dans .
Sauf erreurs

elhor_abdelali, je ne comprends pas ta justfication du fait que H n'est pas discret

Bonjour stokastik;
Si était discret il serait,comme on a dit, de la forme et ainsi vu que sont des éléments de leur rapport serait rationnel.

La suite de mon problème porte d'ailleurs sur la suite cos n. J'ai réussi à faire les deux premières questions mais je n'arrive pas à montrer coshcose dans la question 3 a et la suite me pose également des problèmes....Merci d'avoir déjà répondu à mes questions précédentes, ce qui m'a bien aidée!!  Et merci d'avance pour le reste bonne journée

On considère un nombre réel U appartenant à [-1, 1]. Il existe donc un réel e tel que cos e = U.
1) Montrer que pour tout x , abs(sinx)abs(x)
2) Montrer que abs(cos x - cos y)abs(x-y) pour tout couple de réels (x, y).
3) On considère un réel A: appartenant à ]0,1].
a) Montrer qu'il existe h E H tel que 0 < h - e < A et cos(h)cos(e)
b) Montrer qu'il existe un entier naturel m tel que 0 < abs(cos e - cos m) < A.
c) Montrer qu'il existe une infinité d'entiers naturels m tels que 0 < abs(cos e - cos m) < A.
4) Montrer qu'il existe une application strictement croissante a de N dans N telle que la suite cos(a(n))nN converge vers U.

Un sous groupe de R est soit cyclique (engendré par un seul élément, bien que parfois on dise que Z n'est pas cyclique) et soit dense dans R.

Ici il n'est clairement pas cyclique, donc il est dense.
Cependant je pense que ca ne doit pas convenir ici... (le "théorème" n'a pas du être vu)

Bonjour otto;
-C'est plutot une convention (ou une coutume) un groupe engendré par l'un de ses éléments est dit cyclique s'il est fini monogéne sinon.
-Je pense quand m^me que le théorème sur les sous groupes additifs de doit se voir en maths sup ( la démonstration utilise la propriété de la borne supérieure (inférieure) du corps des réels et la division euclidienne des entiers ainsi que quelques propriétes élémentaires des groupes ).

alinea pour la question:
1/ tu pourras étudier les variations de la fonction pour déduire qu'elle est positive.
2/
3/ on peut choisir
a) vu que ,l'ensemble est un ouvert non vide de par définition une partie dense de rencontre tous les ouverts non vides de celui-ci on a donc que c'est à dire que et remarquons qu'alors donc ce qui donne .
je te laisse faire la suite.
Sauf erreurs...

Oui j'ai entendu ca également, sauf que des groupes monogènes non cyclique il n'y en a pas beaucoup
A+

a bah merci bcp d'avoir répondu a Alinea, je blokè sur lé mm kestion!!!! super!!! je v enfin pouvoir bouclé mon DM!!

enkor merci!!

bcp blokè lé mm kestion v enkor

Aie aie aie

oups désolée... je ne fais pas tres attention lorsque j'écris... bah si toute fois des personnes ne comprennent pas mon post, qu'elles me le signale, et je le traduirait en "bon" français!!