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Sous-groupe multiplicatif de GLn(K)
Bonsoir,
G est l'ensemble des matrices triangulaires supérieures ayant uniquement des 1 sur la diagonale principale.
Je dois montrer que G est un sous-groupe multiplicatif de GLn(K)
Je commence en disant que In
G
Puis je pose
M = 1 . . .a1n
.
.
0 . an-1n
0 1
et
N = 1 . . .b1n
.
.
0 . bn-1n
0 1
mon idée est de calculer le produit MN puis de vérifier qu'il est égal à NM, puis de montrer que M-1G
Est-ce bon ? si oui, comment calculer M-1 ?
Merci d'avance
Salut !
attention, ce n'est pas un groupe abélien, NM n'est pas égal a MN, tu dois juste vérifier que MN est dans G.
commence par monter que M est inversible (c'est un résultat de cours)
apres pour montrer que l'inverse est dans G je proposerai ceci :
l'application A->AM est une application de G dans G (car G est stable par produit) et elle est injective (car M est inversible). G etant un EV de dimension finit, cette application est aussi surjective, en particulier il existe A telle que AM=I et on a finit. (enfin presque, reste a montrer que MA=I mais c'est assez imédiat)
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