Bonjour,

Il faut revenir à la définition de l'indice pour avoir toute l'information.
¤ Qu'est ce que [G:H]=2 veut dire ?
¤ Regarde ensuite la classe d'équivalence de l'élément neutre.

(G:H)=2 signifie qu'il y a deux classes d'équivalence mais je ne vois absolument comment m'en servir car ça signifie que classe d'équivalence de x= xH ou H x tout dépend si c'est à gauche ou à droite
est ce que dire qu'il y a deux classes d'équivalences signifie que l'on a la classe d'équivalence à 0 et celle à 1 ou ça n'a rien a voir?
je ne suis pas du tout sure de moi mais la classe d'équivalence de l'élément neutre correspond à l'ensemble des élément de G car prenons 1 comme l'élément neutre
et x un élément quelconque de G et x appartient a H
1*x=x appartient a G
mais ça ne m'avance pas quand même

[e]_g=eRg
[e]_d=gRe
mais je ne vois toujours pas comment on peut s'en servir
je suis désolé!

Mais dans le cas ou e est l'élément neutre de G, ça se simplifie [e]_g et [e]_d.

et bien g appartient a H et g^-1 appartient à H

Je te demande juste de me dire ce que vaut la classe à gauche (respectivement à droite) selon H de l'élément neutre.
Cet ensemble, c'est par définition (pour le cas à gauche)
De même pour la classe d'équivalence à droite selon H.

Une fois que tu auras trouvé ces ensembles, regarde les éléments qui ne sont pas dans [e] où sont-ils selon qu'on regarde modulo H à gauche ou à droite et conclus en que H est normal dans G.

[e]_g={gH}
[e]_d={g^-1}H}
donc les éléments qui ne sont pas dans [e]_g sont dans [e]_d et inversement
pour montrer que H est normal je dois montrer que
xG xHx^-1=H
xG xH=Hx
xG xHx^-1H
xG x^-1HxH
ce qui me gène c'est que je ne sais pas où utiliser les classes d'équivalence et je me dit que je ne peux pas généraliser car elles ne sont utilisables que dans le cas de l'élément neutre sinon j'aurais pu dire
gHg^-1
donc xH yH
donc xyH car H sous groupe de G
gxyg^-1=(gx)(yg^-1)=(x^-1g^-1)^-1(gy^-1)^-1
par associativité du groupe
d'après [x]_g (x^-1g^-1)H car x^-1H car sous groupe de G et g^-1H d'après [e]_d
d'où (x^-1g^-1)^-1H car H sous groupe de G
d'après [x]_d (gy^-1)H car gH d'après [e]_g et yH donc y^-1H car sous groupe
d'où comme H est un sous groupe de G (y^-1g^-1)^-1
d'où (gx)(yg^-1) H
c'est à dire gxyg^-1H
donc gHg^-1H
H est normal dans G
c'est bon?

Bonjour
tu es sur de ton [e]d

j'ai mis une accolade en trop
[e]_d={g^-1H}
non je n'en suis pas sure mais j'ai beaucoup de mal à comprendre cette notion
elle est fausse?

Revois [e]d

Tu trouveras que [e]d=[e]g=H
que ce soit à qauche (resp. a droite) il n'y a que 2 classes qui forment 1 partition de G.
L'autre classe à droite = l'autres classe à gauche = G - H

en réalité elle n'est pas fausse parce que H étant un sous-groupe,
gH g^-1 H

Mais je ne sais pas d'où tu as sorti g^-1 alos que à droit ça devait être g*e^-1

[e]_d={gG/ge^-1H}={gG/gH}
c'est mieux?
par contre je ne comprend pas à quoi ça va me servir de savoir:
"que ce soit à gauche (resp à droite)il n'y a que 2 classes qui forment 1 partition de G.
L'autre classe à droite = l'autres classe à gauche = G - H"
car moi mon but c'est de montrer que c'est normal et je n'est pas besoin de savoir quoi que ce soit sur G-H?
Ce que j'ai fait au dessus c'est totalement faux alors?

je ne sais pas moi même de où ça vient
c'est la DS de l'année dernière et je suis en train de réviser mais je galère!
Merci de votre aide

Nous avons démontré que les classes à droites sont identiques aux classes à gauche.
Du coup, pour tout x appartient à G xH = Hx
Soit x G
xH = Hx xHx^-1=Hxx^-1xHx^-1=H

Ah oui en faite c'est tout bête!
Mais dès le départ comme l'indice est égale à 2 c'est donc les classes d'équivalence à gauche et à droite
mais si cet indice était égale à 3 comment ferait-on?

Ta démonstration est confuse. Par exemple, à un moment tu écris:
"d'après [x]g (x-1g-1)H car x-1H car sous groupe de G et g^-1H d'après [e]d"
Mais le g ou le g^-1 à utiliser pour démontrer que gHg-1 = H, appartient à tout G, et non pas à la classe [e]d

*****************
Essaie toujours de prendre du recul pour comprendre le principe de ce que tu veux démontrer avant d'attaquer de front et tomber dans des confusions.

"mais si cet indice était égale à 3 comment ferait-on?"
en réalité le principe utilisé vient des prpriétés suivantes qui sont toujours vraies :
- le nombre de classes à droite = nombre de classes à gauche ( = ordre de G / ordre de H, dans le cas oùG est un groupe fini)

- [e]g = eH = H = He = [e]d

Ainsi dans le cas où l'ordre est 2 la deuxième classe (à gauche ou à droite) est forcément G-H. Du coup xH=Hx, quelque soit x (et il n'y a que deux xH ou Hx distincts)
Dans le cas d'un sous groupe H d'ordre 3 ou plus, il peut être normal comme il peut ne pas l'être.

les classes à droites sont identiques aux classes à gauche dans le cas de l'élément neutre est ce que ça veut dire que c'est vrai pour n'importe quel x?

Merci beaucoup!

"les classes à droites sont identiques aux classes à gauche dans le cas de l'élément neutre est ce que ça veut dire que c'est vrai pour n'importe quel x?"
Je n'ai pas bien compris ta question. Quoiqu'il en, pour tout groupe G, quelque que soit le sous-groupe H de G
eH=He=H
AInsi dans G/H
[e]g=[e]d

"Merci beaucoup!"
De rien Lau. C'était un plaisir.