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Sous-groupes de Z/n
Bonsoir,
Je dois faire un exercice sur les groupes. Je vois comment faire le dévut (a savoir: montrer qu'un groupe cyclique d'ordre n est isomorphe à Z/n, montrer qu'un groupe monogène infini est isomorphe à Z. Déterminer les sous_groupes additifs de Z: pour cela je pense qu'il faut montrer que c'est nZ={nk/k appartient à Z}, n entier)
Là où je ne vois vraiment pas, c'est pour déterminer tous les sous-groupes de Z/n. Je n'ai aucune idée de la forme qu'ils sont.
Pouvez-vous m'aider svp
Merci
Salut !
pour les sous groupe de Z tu as raison, pour le prouver sonsidere le plus petit element de G inter N*, cela met en évidence le 'k' sont tu parle, apres il ne reste plus qu'a vérifier que G=kZ
quelques petites indications qui te serviront surement :
-un sous groupe d'un groupe monogène est monogène.
-l'ordre de tous element divise le cardinal du groupe (donc l'ordre des elements de Z/nZ divise n, et les element d'un sous groupe de Z/nZ ont un ordre qui divise le cardinal du groupe)
connais tu ou sais tu prouver ces résultats ? cela te donne t'il une idée ?
Merci pour les indications. Je connais effectivement les résultats.
Cela me donne peut etre une idée: il doit y avoir un rapport avec Z/kZ où k divise n?
en effet, ils sont forcement de la forme Z/kZ avec k divisant n,.
plus précisement ce sont les groupes générer par un element d'ordre a<n (et bien sur a|n) (le groupe etant ainsi isomorphe a Z/aZ)
deux questions subsitent : qu'elles sont les element d'ordre <n,et y a t'il plusieur sous groupe d'ordre d fixé ?
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