Bonjour,
je voudrais montrer que les sous groupes finis de GLn(Z) sont "petits". Pour celà, je vois ici ( prop 2.4.1) qu'il faut que je montre que la restriction du morphisme GLn(Z)->GLn(Z/pZ) à un sous groupe G est injective. Le problème c'est que lorsqu'on a une matrice inversible dans Mn(Z), je ne vois pas pourquoi sa réduction modulo p resterait inversible... L'application ne me semble donc pas définit. Où est le problème ?
Merci d'avance pour vos réponses !
Bonjour
Une matrice inversible de GLn((Z) est de déterminant 1 ou -1, donc son déterminant reste inversible dans Z/pZ.
Haaaaaa merci Camélia pour cette réponse éclair !!
Je n'avais même pas pensé que le déterminant ne pouvait pas être n'importe quel entier...
Ok, j'ai réussi à montrer que l'ordre s'un sous groupe de GL_2(Z) divise 48. Mais peut-on expliciter ces sous groupes, ou les dénombrer ?
Bonjour, c'est assez clair que la matrice reste inversible si tu la rdéuit modulo p plus generalement un morphisme d'anneau entre deux anneaux A et B envoie GL(A) sur GL(B), il suffit d'ecrire que pour deux matrices m et n on a mn=1.
SInon pour montrer que GL(n,Z)->GL(n,F_p) st une injection pour p>2. Prends un element du noyau, noté disons h alors h=1+pj pour j dans M(n,Z), étudie le polynome caractéristique de h et de j et montre que j=0.
J'ai dit envoie GL(A) sur GL(B), j'aurai du dire dans GL(B), il n'y a pas de raison qu'il soit surjectif.
Oui oui, je l'ai fait ça.
Maintenant, je me demandais s'il y avait moyen de pousser un peu plus loin l'étude des sous groupes finis de GL_2(Z), en plus de dire que leur cardinal divise 48...
Ben on connait tous les groupes d'ordre plus petit que 48 me semble-t-il(tous les simples cest sur les autres je pense quand meme aussi)...donc il faut regarder lesquels on peut realiser comme sous groupe de GL(2,Z)...
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