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Sous-Variétés
Bonsoir tout le monde,
je débute avec les sous-variétés et le td qu'on a eu aujourd'hui me fait un peu peur...
Montrer que est une sous variété de
.
Quelle est la méthode?
y-a t-il quelque chose à faire si ce n'est de dire que c'est le graphe d'une fonction lisse?
Merci d'avance de vos explications
Bonsoir.
C'est pas le graphe d'une fonction lisse justement...Mais c'est f^{-1} de qqch avec f qui est une submersion.
f ça une bonne tete de submersion 
je dis simplement ça parce que déjà on va de R² dans R
mais sinon,pour montrer que f est une submersion faut que je montre que df est injective ,c'est bien ça?
Non ça c'est un immersion...et df a peu de chance d'etre injective vu qu'elle va de R² dasn R.
UNe submersion a une differentielle surjective
Bon...bah je vois pas
parce que à vrai dire en TD j'ai pas bien compris le truc...
pour montrer qu'un ensemble est une sous-variété,on dit que c'est le graphe d'une fonction lisse...non?
On peut oui...mais la il faut utiliser le fait que c'est l'image reicproque d'un point par une submersion.
l'image reicproque d'un point par une submersion.
>c'est vrai tout le temps ça??
je veux dire l'image réciproque d'un point par une submersion c'est toujours une sous-variété?
ici à part ce que j'ai dit,je vois pas d'autres images réciproque de point??
mais à mon avis f(x,y)=x²+2y²-1 n'est pas trop surjectif(
)
merci!
Soient ;
deux
-espaces vectoriels de dimension finie,
un ouvert de
et
une application . Montrer que
est une sous-variété de
.
y'a rien à montrer là??
Après ca dépend peut etre qu'on veut précisment te afire montrer que le graphe d'une fonction lisse est une sous variété...
j'en ai encore sous la main
Montrer que l'ensemble est une sous-variété de
donc bah sauf erreur,ça ressemble à l'intersection de deux plans...donc c'est soit une droite(sous-variété de dimension 1) soit un plan(si colinéarité des vecteurs qui dirigent les deux plans) qui est une sous-variété de dimension 2.
ok?
j'avais zappé la 3eme coordonnée!!
ah oué donc en fait pas du tout
est-ce que l'intersection de sous-variété c'est une sous-variété?
oui mais là on va en avoir 2??
f(x,y,z)=x²+y²-z²-1
g(x,y,z)=x²+z²-5
donc ça va etre l'intersection de l'image réciproque de deux submersions?
Attends je crois que je t'ai dit une connerie l'intersection de deux sous variétés doit bien etre une variété.
Mais c'est aps génant d'en avoir deux de toute façon... il suffit de considerer une submersion qui va dnas R² et pas R
Oui une submersion mas dans R^p, tu peut considerer ici la fonction qui à (x,y,z) associe (x²+y²-z²,x²+z²)
Non pas le jacobien, y a pas de jacobien ici les espaces de départ et d'arrivés n'ont pas même dimension...la surjectivité de la différentielle juste...
attend 2 minutes,je vérifie un truc parce que je suis quasi certain on a fait un espece de jacobien 3 x 2 ou 2x 3
voilà le truc:
f(x,y,z)=(x²,xy,z)
montrer que f^{-1} ({0}) est une sous-variété.
on a posé g(x,y,z)=(x,z) alors f{-1} ({0})=g^{-1} ({0}) et c'est là la surprise
Jac(g)=(1 0 0)
(0 0 1)
linéairement indépendants
=>rang (Jac(g))=2=rang maximal
=> g^{-1}({0}) sous variété de dim=3-2=1.
Ok c'est la jacobienne et pas le jacobien...Ca revient exatement à montrer que la différentielle est surjective...
ok!!
c'est moi je me suis mal exprimer
je pensais donc à la jacobienne
ok ok.
Bon c'est un peu plus clair...
par contre d'ou sort tu que l'image réciproque d'une submersion est une sous-variété?
c'est une propriété qui se démontre?
hum hum, la démo m'interresse mais là je suis un peu fatigué!
je repasserais demain dans la soirée!
Merci déjà de ton aide bien précieuse!
j'ai un peu mieux saisi la méthode pour les sous-variétés(rien de trés sorcier en fait)
Merci et bonne soirée Rodrigo!
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