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Spé Math Divisibilité
Bonjour j'ai un devoir de Spé math:
Tout entier a s'écrit sous la forme:
a=anx10^n+a(n-1)x10^(n-1)+...+a1x10^1+a0
a)Justifier que 10^n≡1[9]
J'ai dit que 10^n=9x1+1 donc 10^n≡1[9]
b)En déduire que si a=anx10^n+a(n-1)x10^(n-1)+...+a1x10^1+a0 alors a≡an+an1+...+a0 [9]
j'ai fait a=anx10^n+a(n-1)x10^(n-1)+...+a1x10^1+a0
a≡anx1+an-1x1+...+a1x10+a0 [9]
donc a≡an+an1+...+a0 [9]
c)En déduire qu'un entier naturel est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 9
Là je bloque je ne sais pas du tout quoi faire
Merci d'avance pour votre aide
Salut,
a) oui, je suis pas sûr de comprendre ce que tu écris mais en effet en développant (9+1)^n on a que des termes multipliés par des puissances de 9 sauf le 1^n=1.
b) Oui tu utilises ce que tu as vu juste avant 10^n=1[9]
c) Logiquement a=0[9] <=> an+a(n-1)+...+a0=0[9], et être congru à 0 modulo 9 ça veut dire être multiple de 9 
Bonsoir,
Mon raisonnement :
Exemple : loe nombre (abc) s'écrit a10^3 + b10^2 + c, avec c<= 9.
On peut aussi l'écrire a(9^3 + 1) + b(9^2 + 1) + c = 9^3a + a +9^2b +b + c
→ 9(9^2a + 9b) + a + b + c. Cette est donc divisible par 9 si et seulement si (a + b + c) est un multiple de 9. (a + b + c)= 9k
Remplaçons (a+b+c) par 9k dans 9(9^2a + 9b) + a + b + c, on a alors :
9(9^2a + 9b) + 9k= 9( 9^2a + 9b + k)= 9m divisible par 9, avec m= (9^2a + 9b + k)
Par récurrence ont peut donc généralisée en disant que tout nombre dont la somme de ses chiffres est divisible par 9 et lui même divisible par 9.
phj69
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