Bonjour, je bloque sur un exo de mon Dm, peut être pourrez vous m'aider...

Soit n non nul, on cosidère les entiers M_n de la forme Mn =2ⁿ-1
1]a)Calculer M₃; M₄; M₁₁, parmi ceux ci , quels sont les nombres premiers?
ça nous fait M₃=7 M₄=15 et M₁₁=2047 (2047 n'est pas premier)

b)On pose  n = p.q  (p>1 et q>1), montrer alors que 2ⁿ-1 est divisible par 2^p-1
ça nous fait
2ⁿ-1 = 2^pq-1
      = (2^p)^q -1
      =(2^p-1)(1+2+(2^p)²+...+2^pq-1)
donc 2^p -1  / 2^pq) -1

c) En raisonnant par l'absurde en déduire que si 2ⁿ -1 est premier alors n est premier.
on peut faire : supposons que si 2ⁿ -1 est premier alors n ne l'est pas.
on peut écrire  2ⁿ -1 = (2ⁿ -1)k
2ⁿ -1 est premier diviseurs positifs de (2^n -1)= {1 ; 2ⁿ-1}
or 2^p -1 / 2ⁿ -1
2^p-1= 1  
2^p=2
p=1
ou
2^p-1= 2ⁿ-1
p=n
c'est impossible car on sait que n = pq et que p>1 et q>1
donc la propriété est fausse
donc n est premier

d)a t on la propriété suivante " n est premier alors 2ⁿ-1 est premier"
je pense que non , que si 2ⁿ-1 premier alors n premier seulement. mais je ne sais pas comment le démontrer.

2°Soit m et n deux entiers non nuls et d leur pgcd
a) On pose m=dm' et n=dn', que dire de n' et m'; en déduire qu'il existe deux entiers positifs u et v tels que mu-nu=d
je ne sais pas trop non plus

b) Etablir que (2^mu-1)-(2^nv-1)2^d= 2^d-1

c) Montrer que 2^d-1 est le pgcd de 2^m-1 et 2ⁿ-1

Merci de m'aider si vous le pouvez sur les questions qui me résistent et de me dire si mes réponses sont justes.