PPCM (x,y) = k(2k+1)(x-2y)

on peut déjà chercher dans 1*2^3*3*17 les nombres
qui permettent d'otenir les facteurs k et (2k+1)

Oui... k semble correspondre à 1 (2k+1 =3)
On obtient alors (x-2y) = 2^3*17 = 136
Mais je n'arrive pas à identifier x et y, puisque je ne peux factoriser x-2y et mettre en relation avec 136...
Parce que exprimer x en fonction de y ou l'inverse ne me mène pas à grand chose --'

on a aussi 8 et 17 qui conviendraient.

Oui en effet !
On donc soit k=8
        soit k = 1
On a donc soit x-2y = 3
          soit x-2y = 136
Mais comment identifier x et y à partir de là ?

on a aussi :

x = (2k+1)(x-2y)
y = k(x-2y)

en remplaçant x-2y et k par leur valeur possible.

Bonjour, MarieO.
partant de ppcm(x,y)= k(2k+1)(x-2y)=(2k^2+k)(x-2y) et ppcm(x,y)= 408, on conclut que 2k^2+k divise 408.
Soit donc d un diviseur positif de 408. Pour déterminer k, on doit résoudre l'équation 2k^2+k=d et dont le discriminant est D= 1+8d.
Pour espérer trouver une valeur de k entière, il suffit que le discriminant D soit un carré parfait.
Les valeurs du diviseur d de 408 qui font de D un carré parfait sont: 1;3;6 et 136.

d=1,   donne k=-1 (à rejeter)
d=6,   donne k=-2 (à rejeter)
d=3,   donne k=1 (acceptable)
d=136, donne k=8 (acceptable).

Pour chaque valeur acceptable de k, on résout le système x= (2k+1)(x-2y) et y= k(x-2y) pour déterminer x et y.
d'où:    k=1, donne x= 408 et y= 136
         k=8, donne x= 51  et y= 24.

les seules solutions de ton problème sont: (408;136) et (51;24).
Merci de nous permettre de réfléchir sur d'autres exercices.     Note que PGCD(2k+1,k)=1 pour tout k entier.