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Spé maths Congruence

Posté par Dremora (invité) 09-10-06 à 20:49

Ceci est un second exercice indépendant (je précise) !

On suppose  que A= (2005)2005; on désigne par :

B la somme des chiffres de A
C la somme des chiffres de B
D la somme des chiffres de C

Démontrer la relation A congru D (modulo 9)

Remarque : 20052005 congru 7 (modulo 9)

Pouvez vous m'éclairer ?

Posté par
infophilere : Spé maths Congruence 09-10-06 à 21:05

Bonjour

5$\reverse\opaque \fbox{2005\equiv 2+0+0+5\equiv 7[9]\\\forall n\in \mathbb{N}, 2005^{n}\equiv 7^{n}[9]\\2005\equiv 2+0+0+5\equiv 7\equiv 1[3]\\\rm Donc le reste de la division de 2005^{2005} par 9 est 7\\On a egalement : A\equiv B\equiv C\equiv D[9] \Rightarrow A\equiv D[9]}

Posté par
infophilere : Spé maths Congruence 09-10-06 à 21:09

J'ai peut-être été un peu vite dans la démonstration ? Si c'est le cas je peux te détailler l'ensemble des calculs intermédiaires

Posté par Dremora (invité)re : Spé maths Congruence 09-10-06 à 21:13

Hello infophile ! Merci avant tout !

Oui je suis preneur ! Mais surtout, que signifie le A à l'envers

Posté par
Skopsre : Spé maths Congruence 09-10-06 à 21:17

Pour tout

Skops

Posté par Dremora (invité)re : Spé maths Congruence 09-10-06 à 21:31

Oui en fait, je ne vois pas comment modulo 3 va m'aider

Posté par
infophilere : Spé maths Congruence 09-10-06 à 21:56

5$ \reverse \opaque \yellow \fbox{\rm Determinons suivant les valeurs de n le reste de la \\ division euclidienne de 7^{n} par 9:\\7^0\equiv 1[9]\\7^1\equiv 7[9]\\7^2\equiv 4[9]\\7^3\equiv 4\times 7\equiv 28\equiv 1[9]\\ Soit k\in \mathbb{N} :\\7^{3k}\equiv (7^3)^{k}\equiv 1^k\equiv 1[9]\\7^{3k+1}\equiv 7^{3k}\times 7\equiv 1\times 7\equiv 7[9]\\7^{3k+2}\equiv 7^{3k}\times 7^2\equiv 1\times 4\equiv 4[9]}

5$ \reverse \opaque \blue \fbox{\rm Tout entier k de \mathbb{N} est congru modulo 3 a 0 ou 1 ou 2\\\bullet Si n\equiv 0[3] alors n est de la forme n=3k alors 7^{n}\equiv 1[9]\\\bullet Si n\equiv 1[3] alors n est de la forme n=3k+1 alors 7^{n}\equiv 7[9]\\\bullet Si n\equiv 2[3] alors n est de la forme n=3k+2 alors 7^{n}\equiv 4[9]}

5$ \reverse \opaque \green \fbox{\rm 2005\equiv 2+0+0+5\equiv 7[9] \\Donc pour tout n de \mathbb{N} 2005^{n}\equiv 7^{n}\\Or si n=2005 : 2005\equiv 2+0+0+5\equiv 7\equiv 1[3]\\\Right Le reste de la division euclidienne de 7^{2005} \\par 9 est 7 et donc le reste de la division euclidienne \\de 2005^{2005} par 9 est egalement 7}

Posté par
infophilere : Spé maths Congruence 09-10-06 à 22:04

Le symbole 5$ \reverse \opaque \magenta \fbox{\forall} signifie littéralement "quelque soit" ou encore "pour tout".

Exemple: 5$ \reverse \opaque \red \fbox{\forall x\in \mathbb{R}, f(x)>0} signifie : "Pour n'importe quelle valeur réele prise par la variable x, la fonction qui a x associe le nombre f(x) est strictement positive".

As-tu d'autres questions ?

Posté par Dremora (invité)re : Spé maths Congruence 09-10-06 à 22:08

Ah merci beaucoup , j'ai capté le raisonnement ! : )

Juste une petite chose encopre, c'est quand A congru D modulo 9

Tu met au tout début, on a également... je ne vois pas trop, car jarrive a voir que A congru B, mais B congru C, je sais pas faire !

Posté par
infophilere : Spé maths Congruence 09-10-06 à 22:13

5$ \reverse \opaque \magenta \fbox{\rm Nous avons demontre que A\equiv 7[9]. \\B est la somme des chiffre de A donc A\equiv B[9]\\De meme C est la somme des chiffres de B donc B\equiv C[9]\\Finalement D est la somme des chiffres de C donc C\equiv D[9].\\Donc A\equiv B\equiv C\equiv D[9] \Right A\equiv D[9] avec D=7}

Posté par
infophilere : Spé maths Congruence 09-10-06 à 22:13

Je quitte l'

Posté par Dremora (invité)re : Spé maths Congruence 09-10-06 à 22:17

Ah en fait, je crois que je n'arrvive pas à saisir pk B= la somme des chiffres de A donc A congru B !

Je ne saisi pas la démarche

Posté par Dremora (invité)re : Spé maths Congruence 09-10-06 à 22:22

Bien, merci pour tout infophile c super sympa

Posté par
infophilere : Spé maths Congruence 10-10-06 à 16:40

Bonjour

Tu as certainement du voir en cours les règles de divisibilité d'un nombre en particulier la règle de divisibilité par 9.

\opaque \reverse \fbox{\rm Un nombre est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le composent sont divisibles par 9. \\Soit A un nombre quelconque et B la somme de ses chiffres, alors A est divisible par 9,\\si et seulement si B est divisible par 9. On dit que A est congru a B modulo et on le note \fbox{4$ A\equiv B[9]}}

N'hésite pas si tu as d'autres questions, j'ai un Devoir Surveillé qui portera sur ce chapitre demain matin


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