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spé maths : équations pythagoriciennes

Posté par zineb (invité) 16-11-04 à 11:35

bonjour tout le monde !
s'il vous plait est-ce que quelqu'un pourrait m'indiquer comment on résoud une équation pythagoricienne du type :
x²+y²=z² avec x, y et z premiers entre eux

merci ! indiquez moi juste la méthode ce sera deja gentil de votre part

Posté par zineb (invité)re : spé maths : équations pythagoriciennes 16-11-04 à 14:10

personne pour m'aider ?

Posté par
paulo
spé maths : equations pythagoriciennes 16-11-04 à 18:30

bonjour ,

d'apres ce que j'ai pu trouver mais je n'ai pas le temps d'approfondir c'est une équation qui est aussi appelée diophantienne et sa solution générale est donnée par

z=k(m^2+n^2)
x=k(m^2-n^2)
y=2kmn

ou k , m , n sont des entiers et où m-n 1 mod 2.

si cela peut t'aider
bonsoir

Posté par zineb (invité)re : spé maths : équations pythagoriciennes 16-11-04 à 18:40

merci paulo
j'ai abouti à qqc du genre du genre moi aussi donc peut être qu'à nous deux on peut estimer ca à peu près juste qui sait

en tous cas merci de ton aide !

PS : les équations c'est pas ça c'est les équations de la forme : ax+by=c   et celles la sont plutôt faciles à résoudre

ciao

Posté par simone (invité)re : spé maths : équations pythagoriciennes 17-11-04 à 16:16

Si on a x^2+y^2=z^2 alors on a aussi pour tout entier d (dx)^2+(dy)^2=(dz)^2 on peut donc choisir x et y premiers entre eux. Si on suppose, par ailleurs
x et y impairs ensemble alors
x^2+y^2 est congru à 2 modulo 4 alors que z^2 sera pair, donc z aussi mais alors z^2sera congru à 0 modulo 4, ce qui est contradictoire, donc il FAUT supposer xety de parité différentes, par exemple ximpair et ypair.
Si y est pair, il existe y' tel que y^2=4y'^2 et donc y'^2=\frac{z-x}{2}\times \frac{z+x}{2} or il est facile de voir que si xet y sont premiers entre eux alors il en est de même de x et z ce qui entraîne que \frac{z-x}{2}et
\frac{z+x}{2} sont aussi premiers entre eux ; on en déduit qu'il existe r et s tels que r^2=\frac{z-x}{2} et s^2=\frac{z+x}{2}r et s sont premiers entre eux.
On a donc y=2rs, x=|r^2-s^2| et
z=r^2+s^2.
Réciproquement, si on a y=2rs, x=|r^2-s^2| et z=r^2+s^2 avec r et
s de parité différentes et premiers entre eux alors y est pair, x et y sont premiers entre eux et x^2+y^2=z^2.
On tire de cela que les triplets pythagoriciens x^2+y^2=z^2 avec y  pair, x et y sont premiers entre eux sont de la forme y=2rs, x=|r^2-s^2| et z=r^2+s^2 avec r et
s premiers entre eux et de parité différentes.
Application r=12 et s=13
on a y=312, x=169-144=25 et z=169+144=313 ; on retrouve 312^2+25^2=313^2.
Remarque si ret s sont juste de parité différentes,par exemple r=6
et s=3, on trouve y=36 , x=36-9=27 et z=36+9=45 on obtient le triplet (27;36;45) qui est pythagoricien et aussi (3;4;5) qui celui obtenu avec r=2 et s=1...Je ne sais pas si je suis clair mais si pgcd(r;s)=d alors pgcd(x;y)=d^2 ; en fait pour avoir TOUS les triplets pythagoriciens (x;y;z) il suffit de choisir deux entiers r et s de parité différentes et de poser y=2rs, x=|r^2-s^2| et z=r^2+s^2.
Salut



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